Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.

Задача. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.

Решение

Для решения этой задачи мы воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла является постоянной величиной и равно диаметру описанной около треугольника окружности.

Теорема синусов выглядит так: a/\sin{∠A} = b/\sin{∠B} = c/\sin{∠C} = 2R, где a, b, и c — стороны треугольника, ∠A, ∠B и ∠C — противолежащие углы, а R — радиус описанной окружности.

В данном треугольнике ABC у нас есть два угла: B (65°) и C (85°). Угол A найдём как 180° — ∠B — ∠C, то есть 180° — 65° — 85° = 30°. Теперь мы знаем все три угла треугольника.

Мы знаем, что радиус описанной около треугольника окружности R равен 14, а диаметр, соответственно, будет 2R, то есть 28.

Теперь мы можем найти сторону BC, используя теорему синусов. Пусть BC = a, тогда по теореме синусов:

Мы знаем, что \sin{30°} = 1/2, таким образом:

Умножим обе части уравнения на 1/2:

Таким образом, длина стороны BC треугольника ABC равна 14.

Ответ: 14.