Найдите наименьшее значение функции y = e^(2x) - 9e^x

Найдите наименьшее значение функции y = e^(2x) — 9e^x — 3 на отрезке [0; 3]

Задача. Найдите наименьшее значение функции $y = e^{2x} - 9e^x - 3$ на отрезке [0; 3].

Решение

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке сначала найдем производную функции, чтобы определить критические точки, в которых функция может достигать экстремума.

Найдем производную функции:

y' =(e^{2x} - 9e^x - 3)' =  2e^{2x} - 9e^x

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

2e^{2x} - 9e^x = 0

Вынесем e^x за скобку:

e^x(2e^x - 9) = 0

Получаем два уравнения:

$e^x = 0$ , которое не имеет решений, так как экспонента никогда не равна нулю.
$2e^x - 9 = 0$ , откуда $e^x = \frac{9}{2}$ .

Возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения $\displaystyle e^x = \frac{9}{2}$ :

\displaystyle x = \ln\left(\frac{9}{2}\right)

Теперь проверим, лежит ли это значение x внутри нашего отрезка [0; 3]. Так как $e^0 = 1$ и $e^3$ гораздо больше $\displaystyle \frac{9}{2}$ , значение $x$ , при котором $\displaystyle e^x = \frac{9}{2}$ , действительно находится внутри этого отрезка.

Теперь нам нужно вычислить значение функции y в критической точке и на концах отрезка, чтобы определить, где она принимает наименьшее значение.

$y(0) = e^{2 \cdot 0} - 9e^0 - 3 = 1 - 9 \cdot 1 - 3 = -11$ .
$y(3) = e^{2 \cdot 3} - 9e^3 - 3$ — это число будет очень большим, так как $e^3$ уже достаточно велико.
$\displaystyle y\left(\ln\left(\frac{9}{2}\right)\right) = e^{2\ln\left(\frac{9}{2}\right)} - 9e^{\ln\left(\frac{9}{2}\right)} - 3 = \frac{81}{4} - \frac{81}{2} - 3 = \frac{81}{4} - \frac{162}{4} - \frac{12}{4}=\frac{-93}{4}=-23,25.$

Ответ: -23,25.