Задача. Найдите наименьшее значение функции y = e^{2x} - 9e^x - 3 на отрезке [0; 3].
Решение
Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке сначала найдем производную функции, чтобы определить критические точки, в которых функция может достигать экстремума.
Найдем производную функции:
y' =(e^{2x} - 9e^x - 3)' = 2e^{2x} - 9e^xТеперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
2e^{2x} - 9e^x = 0Вынесем e^x за скобку:
e^x(2e^x - 9) = 0Получаем два уравнения:
- e^x = 0, которое не имеет решений, так как экспонента никогда не равна нулю.
- 2e^x - 9 = 0, откуда e^x = \frac{9}{2}.
Возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения \displaystyle e^x = \frac{9}{2} :
\displaystyle x = \ln\left(\frac{9}{2}\right)Теперь проверим, лежит ли это значение x внутри нашего отрезка [0; 3]. Так как e^0 = 1 и e^3 гораздо больше \displaystyle \frac{9}{2}, значение x, при котором \displaystyle e^x = \frac{9}{2}, действительно находится внутри этого отрезка.
Теперь нам нужно вычислить значение функции y в критической точке и на концах отрезка, чтобы определить, где она принимает наименьшее значение.
- y(0) = e^{2 \cdot 0} - 9e^0 - 3 = 1 - 9 \cdot 1 - 3 = -11.
- y(3) = e^{2 \cdot 3} - 9e^3 - 3 — это число будет очень большим, так как e^3 уже достаточно велико.
- \displaystyle y\left(\ln\left(\frac{9}{2}\right)\right) = e^{2\ln\left(\frac{9}{2}\right)} - 9e^{\ln\left(\frac{9}{2}\right)} - 3 = \frac{81}{4} - \frac{81}{2} - 3 = \frac{81}{4} - \frac{162}{4} - \frac{12}{4}=\frac{-93}{4}=-23,25.
Ответ: -23,25.