Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1+11t-5t^2

Задача. Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=1+11t-5t^2$ , где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 м?

Решение

Чтобы определить, сколько времени мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров, рассмотрим функцию высоты мяча над землей после броска вверх:

h(t) = 1 + 11t - 5t^2

Здесь $h(t)$ — это высота мяча в метрах в момент времени $t$ , измеряемого в секундах. Согласно задаче, нам нужно определить промежуток времени, за который высота мяча будет не менее 3 метров. Для этого нам нужно решить неравенство:

h(t) \geq 3

Подставим функцию $h(t)$ в неравенство и решим его:

1 + 11t - 5t^2 \geq 3

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы привести неравенство к стандартному виду:

5t^2 - 11t + 2 \leq 0

Это квадратное неравенство, и его корни можно найти, используя формулу корней квадратного уравнения. Это уравнение имеет вид $at^2 + bt + c = 0$ , где $a = 5$ , $b = -11$ , и $c = 2$ . Решив это уравнение, мы получим два корня, которые обозначим как $t_1$ и $t_2$ :

\displaystyle t_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5mm] t_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Подставив значения $a$ , $b$ , и $c$ , мы найдем корни уравнения. Корни уравнения дадут нам две точки, между которыми функция $h(t)$ удовлетворяет условию $h(t) \geq 3$ . Так как функция параболическая и ветви параболы направлены вниз (коэффициент $a$ перед $t^2$ отрицательный), мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров между этими двумя моментами времени.

Интервал времени, в течение которого мяч находится на высоте не менее 3 метров, — это разность между этими двумя моментами времени: