Задача. Найдите точку максимума функции y=15+21x-4x√x.
Решение
Найдем производную функции y по x, чтобы определить критические точки, в которых функция может достигать экстремума (максимума или минимума):
Производная функции y = 15 + 21x - 4x\sqrt{x} равна:
\displaystyle y' = 21 - 4\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
21 - 6\sqrt{x} = 0Упростим уравнение:
\displaystyle 6\sqrt{x} = 21 \\[5mm] \sqrt{x} = \frac{21}{6} \\[5mm] \sqrt{x} = \frac{7}{2}Возведем левую и правую части в квадрат:
\displaystyle x = \left(\frac{7}{2}\right)^2 \\[5mm] x = \frac{49}{4}= 12,25Проверим, является ли эта точка точкой максимума с помощью второй производной. Если вторая производная в критической точке отрицательна, то эта точка является точкой максимума.
\displaystyle y''=(21 - 6\sqrt{x})'=-\frac{3}{\sqrt{x}}Тогда \displaystyle y''(12,25)=-\frac{3}{\sqrt{12,25}}<0
Таким образом, точка максимума функции находится в точке x = 12,25.
Ответ: 12,25.
