Найдите значение выражения log2,5 6 * log6 0,4

Задание. Найдите значение выражения $\log_{2,5} 6 \cdot \log_6 0,4$ .

Решение

Перепишем выражение, учитывая что $\displaystyle 2,5=\frac{5}{2} \, и \, 0,4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ :

\displaystyle \log_{2,5} 6 \cdot \log_6 0,4=\log_{\frac{5}{2}} 6  \cdot \log_6 \frac{2}{5}

Если мы обозначим $\displaystyle a=\frac{5}{2}$ , $b=6$ , то у нас получается:

\displaystyle \log_a b \cdot \log_b a^{-1}

(

\displaystyle \frac{2}{5}=(\frac{5}{2})^{-1}=a^{-1}

)

Если мы приведем второй множитель к основанию $a$ по формуле $\displaystyle \log_c d=\frac{\log_f d}{\log_f c}$ , то получим:

\displaystyle \log_a b \cdot \log_b a^{-1}=\log_a b \cdot \frac{\log_a a^{-1}}{\log_a b}=\log_a a^{-1}=-1 \log_a a=-1

То есть нам фактически неважны числа, которые мы обозначили a и b, если у нас есть выражение вида:

\log_a b \cdot \log_b a

оно всегда будет давать в результате 1.

или, как в нашем случае:

\log_a b \cdot \log_b a^n=n

И в общем виде:

\log_a b^m \cdot \log_b a^n=mn.

Ответ: -1.