Задача. Найдите значение выражения \displaystyle \frac{125^{3,2}}{25^{3,3}}.
Решение
Для решения задачи, нам нужно упростить выражение \displaystyle \frac{125^{3,2}}{25^{3,3}}. Сделаем это шаг за шагом.
Заметим, что и 125, и 25 являются степенями числа 5:
125 = 5^3 \\ 25 = 5^2Таким образом, мы можем переписать исходное выражение, заменив 125 и 25 их эквивалентами в степенях пятерки:
\displaystyle \frac{125^{3,2}}{25^{3,3}} = \frac{(5^3)^{3,2}}{(5^2)^{3,3}}
Применение свойства степеней \displaystyle (a^m)^n = a^{m \cdot n}.
Применяя это свойство, умножим показатели степеней:
\displaystyle \frac{(5^3)^{3,2}}{(5^2)^{3,3}} = \frac{5^{3 \cdot 3,2}}{5^{2 \cdot 3,3}} = \frac{5^{9,6}}{5^{6,6}}Упростим выражение, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием \displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}:
\displaystyle \frac{5^{9,6}}{5^{6,6}} = 5^{9,6 - 6,6} = 5^{3}Так как 5^3 = 125, итоговое значение выражения равно 125.
Ответ: 125.
