Задача. Найдите значение выражения \displaystyle 5^{\sqrt{3} - 4} \cdot 5^{1 + 3\sqrt{3}} : 5^{4\sqrt{3} - 1}.
Решение
Чтобы найти значение данного выражения, нужно использовать свойства степеней. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются, а при делении — вычитаются.
Выражение имеет вид:
\displaystyle 5^{\sqrt{3} - 4} \cdot 5^{1 + 3\sqrt{3}} : 5^{4\sqrt{3} - 1}Применим свойства степеней:
\displaystyle 5^{(\sqrt{3} - 4) + (1 + 3\sqrt{3}) - (4\sqrt{3} - 1)}Теперь просто сложим показатели степеней:
\displaystyle 5^{\sqrt{3} - 4 + 1 + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 1} = 5^{-4 + 1 + 1 + \sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3}} = 5^{-2 + \sqrt{3} - \sqrt{3}} = 5^{-2}Итак, показатель степени равен -2. Вспомним, что \displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}:
\displaystyle 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0,04Итак, значение выражения равно 0,04.
Ответ: 0,04.
