Задача. Найдите значение выражения \log_{0,25}{64}.
Решение
Давайте разберемся, как решить выражение \log_{0,25}64 шаг за шагом.
Во-первых, нам нужно понять, что такое логарифм. Логарифм по основанию b от числа x — это степень, в которую нужно возвести b, чтобы получить x. То есть, если у нас есть выражение b^y = x, то \log_b{x} = y.
В нашем случае, нам нужно найти такое число y, при котором 0,25^y = 64.
Давайте рассмотрим основание логарифма, 0,25. Это число можно записать как \displaystyle \frac{1}{4}, или в виде степени 2^{-2}. Теперь мы можем использовать свойство степеней, которое гласит, что (a^m)^n = a^{m \cdot n}.
Поскольку 64 это 2^6, мы можем переписать уравнение следующим образом:
\displaystyle (2^{-2})^y = 2^6Теперь мы используем свойство степеней:
\displaystyle 2^{-2y} = 2^6Чтобы равенство было верным, показатели степени должны быть равны:
-2y = 6Теперь мы можем найти y, разделив обе части уравнения на -2:
\displaystyle y = \frac{6}{-2} \\ y = -3Таким образом, \log_{0,25}64 = -3. Это означает, что если мы возведем 0,25 в степень -3 , мы получим 64 .
Ответ: -3.
