Задача. Острый угол B прямоугольного треугольника равен 50^\circ. Найдите угол между высотой CH и медианой CM, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разберем задачу. Известно, что угол C является прямым и составляет 90^\circ. Нам необходимо определить величину угла MCH. В прямоугольном треугольнике медиана CM, проведенная к гипотенузе, также является радиусом описанной около треугольника окружности, что делает точку M ее центром. Это дает нам равенство отрезков AM, MC и MB.
Треугольник CMB образует равнобедренный треугольник с равными сторонами MB и MC, а углы при основании BC также равны между собой.
Значит, угол MCB равен углу B, который составляет 50^\circ.
Чтобы найти угол HCB, рассмотрим прямоугольный треугольник HCB:
\angle HCB равен разности между 90^\circ и углом B, то есть \angle HCB = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ.Теперь, чтобы получить искомый угол MCH, вычтем из угла MCB угол HCB:
\angle MCH = \angle MCB - \angle HCB = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ.Таким образом, размер угла MCH составляет 10^\circ.
Ответ: 10.
