От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 192 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним, со скоростью на 4 км/ч большей, отправился второй

Задача. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 192 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним, со скоростью на 4 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Для решения этой задачи нужно составить уравнение, основанное на том, что время в пути для первого теплохода на 4 часа больше времени в пути для второго теплохода. Пусть скорость первого теплохода равна $v$ км/ч, тогда скорость второго теплохода будет $v + 4$ км/ч.

Так как расстояние между пристанями А и В равно 192 км, то время в пути первого теплохода будет $192 / v$ , а время в пути второго теплохода будет $\displaystyle 192 / (v + 4)$ . Поскольку второй теплоход отправился на 4 часа позже, время в пути первого теплохода на 4 часа больше, чем у второго. Составим уравнение:

\displaystyle \frac{192}{v} - 4 = \frac{192}{v + 4}

Преобразуем это уравнение, чтобы найти скорость $v$ :

192(v + 4) = 192v + 4v(v + 4)

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

192v + 768 = 192v + 4v^2 + 16v \\ 4v^2 + 16v - 768 = 0

Разделим обе части на 4, чтобы упростить уравнение:

v^2 + 4v - 192 = 0

Для решения квадратного уравнения сначала найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$ , где $a = 1$ , $b = 4$ , и $c = -192$ .

D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784

Дискриминант $D$ положителен, что означает, что уравнение имеет два различных действительных корня. Теперь найдем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения:

\displaystyle v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Подставим наши значения:

\displaystyle v_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 28}{2}

Теперь найдем оба корня:

\displaystyle v_{1} = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12 \\[5mm] v_{2} = \frac{-4 - 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16

Поскольку скорость не может быть отрицательной, мы не берём второй корень. Таким образом, скорость первого теплохода $v$ равна 12 км/ч. Скорость второго теплохода будет на 4 км/ч больше, то есть 16 км/ч.

Ответ: 16.