Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства

Решение. Преобразуем данное неравенство к виду:

Приведём левую часть к общему знаменателю.

Так как -1 ≤ cos4x ≤ 1, то знаменатель дроби при любом значении а положителен, поэтому равенство будет верным, если числитель окажется меньшим нуля. Решаем неравенство:

a-(a²-2a)cos2x + 2-3 + cos4x-a² < 0. Применим формулу: 1 + cos2α = 2cos²α, тогда cos4x = 2cos²2х-1. Получаем неравенство:

a-(a²-2a)cos2x + 2-3 + 2cos²2х-1-a² < 0;

2cos²2x-(a²-2a)cos2x-(а²-а + 2) < 0. Это квадратное уравнение относительно переменной cos2x. Сделаем замену: cos2x = z. Получаем:

2z²-(a²-2a)z-(а²-а + 2) < 0. ( * )

Проиллюстрируем последнее утверждение – рассмотрим график функции  y = cos2x на промежутке

Неравенство ( * ) должно выполняться и при z =-1 и при z = 1. Искомыми будут являться те значения параметра а, при которых неравенство ( * ) будет выполнено.

1) z =-1.

2 ∙ (-1)²-(a²-2a) ∙ (-1)-(а² — а + 2) < 0;

2 + а²-2а-а² + а-2 < 0   →   -а < 0     →    а > 0.

2) z = 1.

2 ∙ 1²-(a²-2a) ∙ 1-(а²-а + 2) < 0;

2-а² + 2а-а² + а-2 < 0   →   -2а² + 3a < 0     →    2а²-3a  > 0    →   a(2a-3) > 0.

Общее решение: а ∈ (1,5; + ∞).

Ответ: а > 1,5.