Задача. Первый насос наполняет бак за 35 минут, второй — за 1 час 24 минуты, а третий — за 1 час 45 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Решение
Для решения этой задачи найдем скорость наполнения бака каждым насосом в минуту, а затем определим суммарную скорость трех насосов, работающих одновременно.
Первый насос наполняет бак за 35 минут, значит, его скорость наполнения бака составляет \displaystyle \frac{1}{35}бака в минуту.
Второй насос наполняет бак за 1 час 24 минуты, что равно 84 минутам, следовательно, его скорость наполнения составляет \displaystyle \frac{1}{84}бака в минуту.
Третий насос наполняет бак за 1 час 45 минут, что равно 105 минутам, его скорость — \displaystyle \frac{1}{105}бака в минуту.
Скорость работы всех трех насосов вместе будет равна сумме их отдельных скоростей:
\displaystyle \frac{1}{35} + \frac{1}{84} + \frac{1}{105}.Приведем дроби к общему знаменателю, который равен наименьшему общему кратному (НОК) чисел 35, 84 и 105.
НОК(35, 84, 105) равно 420, так как:
35 = 5 \cdot 7, \\ 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7, \\ 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7.Теперь приведем дроби к этому общему знаменателю:
\displaystyle \frac{1}{35} = \frac{12}{420} , \\[5mm] \frac{1}{84} = \frac{5}{420}, \\[5mm] \frac{1}{105} = \frac{4}{420} .Сложим дроби:
\displaystyle \frac{12}{420} + \frac{5}{420} + \frac{4}{420} = \frac{21}{420} .Суммарная скорость трех насосов составит \displaystyle \frac{21}{420} бака в минуту, что упрощается до \displaystyle \frac{1}{20} бака в минуту.
Чтобы найти время, за которое три насоса наполнят бак, работая вместе, возьмем обратное от их суммарной скорости:
\displaystyle T = \frac{1}{\frac{1}{20}} = 20 минут.Таким образом, все три насоса, работая одновременно, наполнят бак за 20 минут.
Ответ: 20.
