Задача. Площадь основания конуса равна 56. Плоскость, параллельная основанию конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 12, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Решение
Когда плоскость параллельная основанию конуса делит его высоту, получающееся сечение представляет собой круг, который подобен основанию конуса. Коэффициент подобия k между основанием конуса и сечением конуса можно найти, сравнив длины высот в этих двух подобных фигурах.
Высота меньшего конуса (сечения) составляет 4, а высота всего конуса — сумма двух отрезков, то есть 4 + 12 = 16 . Таким образом, коэффициент подобия k равен:
\displaystyle k = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}Площадь подобных фигур изменяется пропорционально квадрату коэффициента подобия. Пусть S — площадь основания большого конуса (которая равна 56), а S' — площадь сечения конуса. Тогда:
\displaystyle S' = k^2 \cdot S \\[5mm] S' = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot 56 \\[5mm] S' = \frac{1}{16} \cdot 56 \\[5mm] S' = 56 \div 16 \\[5mm] S' = 3,5Площадь сечения конуса этой плоскостью равна 3,5 квадратных единиц.
Ответ: 3,5
А почему площадь большого конуса равна 56,нам же в условии дана площадь основания
В решении так и написано — площадь основания большого конуса. Так как у нас есть сечение, параллельное основанию, то получается, что у нас как будто два конуса — один маленький, выше сечения, и один большой конус — исходный, который нам дан. Так вот 56 — это площадь основания большого конуса, а площадь основания маленького конуса S′ надо найти.