Площадь основания конуса равна 56. Плоскость, параллельная основанию конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 12, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Площадь основания конуса равна 56. Плоскость, параллельная основанию конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 12, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью. ЕГЭ

Задача. Площадь основания конуса равна 56. Плоскость, параллельная основанию конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 12, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Решение

Когда плоскость параллельная основанию конуса делит его высоту, получающееся сечение представляет собой круг, который подобен основанию конуса. Коэффициент подобия k между основанием конуса и сечением конуса можно найти, сравнив длины высот в этих двух подобных фигурах.

Высота меньшего конуса (сечения) составляет 4, а высота всего конуса — сумма двух отрезков, то есть 4 + 12 = 16 . Таким образом, коэффициент подобия k равен:

\displaystyle k = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}

Площадь подобных фигур изменяется пропорционально квадрату коэффициента подобия. Пусть S — площадь основания большого конуса (которая равна 56), а S' — площадь сечения конуса. Тогда:

\displaystyle S' = k^2 \cdot S \\[5mm] S' = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot 56 \\[5mm]  S' = \frac{1}{16} \cdot 56 \\[5mm] S' = 56 \div 16 \\[5mm] S' = 3,5

Площадь сечения конуса этой плоскостью равна 3,5 квадратных единиц.

Ответ: 3,5

Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ
Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии