Задача. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 105 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Обозначим скорость велосипедиста из города A в город B как x км/ч. Тогда время, затраченное на этот путь, будет равно \displaystyle t = \frac{105}{x} часов.
На обратном пути скорость велосипедиста увеличилась на 7 км/ч, значит его скорость стала x + 7 км/ч. Поскольку он сделал остановку на 4 часа, время движения (без остановки) на обратном пути было t - 4 часов.
Путь обратно такой же, 105 км, следовательно, время в пути (без учета остановки) из B в A равно \displaystyle \frac{105}{x + 7} часов.
Так как общее время в пути туда и обратно одинаково, учитывая остановку, получаем уравнение:
\displaystyle \frac{105}{x} = \frac{105}{x + 7} + 4Приведем уравнение к общему знаменателю и решим его:
105(x + 7) = 105x + 4x(x + 7) \\ 105x + 735 = 105x + 4x^2 + 28x \\ 4x^2 + 28x - 735 = 0Это квадратное уравнение относительно x. Для его решения найдем дискриминант:
D = 28^2 + 4 \cdot 4 \cdot 735 = 784 + 11760 = 12544Теперь вычислим корень из дискриминанта:
\sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112Итак, корни уравнения будут:
\displaystyle x = \frac{-28 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 4} \\[5mm] x = \frac{-28 \pm 112}{8}Мы ищем положительный корень, так как скорость не может быть отрицательной:
\displaystyle x = \frac{84}{8} \\[5mm] x = 10,5Таким образом, скорость велосипедиста из города A в город B составляла 10,5 км/ч. Следовательно, скорость на обратном пути из B в A равна x + 7, то есть 10,5 + 7 = 17,5 км/ч.
Ответ: 17,5.
