Постройте график функции y=(x^2+1)(x-2)/(2-x)

Задание. Постройте график функции $\displaystyle y = \frac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}$ .

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Дана функция $\displaystyle y = \frac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}$ .

Первый шаг — упростить функцию. Мы видим, что в знаменателе и числителе есть похожие выражения: $x-2$ и $2-x$ . Поскольку $2-x$ это то же самое, что $-(x-2)$ , мы можем упростить функцию, умножив числитель и знаменатель на -1:

\displaystyle y = \frac{(x^2+1)(x-2)}{-1} \\ y = -x^2 - 1

Теперь у нас есть упрощенное выражение функции $y = -x^2 - 1$ , которое представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, потому что коэффициент перед $x^2$ отрицательный.

Точка $x = 2$ не входит в область определения функции, так как при $x = 2$ знаменатель исходной дроби обращается в ноль, а деление на ноль не допускается. Значение функции в этой точке тоже не существует $y(2)$ не определено, это означает, что в точке $x = 2$ у нас будет вертикальная асимптота.

Следующий шаг — найти вершину параболы. Для параболы $y = ax^2 + bx + c$ координаты вершины можно найти по формулам:

\displaystyle x_{верш.} = \frac{-b}{2a} \\[5mm] y_{верш.} = ax_{верш.}^2 + bx_{верш.} + c

Для нашей функции $a = -1$ , $b = 0$ , так что:

\displaystyle x_{верш.} = \frac{-0}{2 \cdot (-1)} = 0 \\[5mm]  y_{верш.} = -0^2 - 1 = -1

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0; -1)$ .

Теперь, зная уравнение параболы и положение её вершины, мы можем нарисовать график. Парабола будет симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через вершину, и будет иметь вертикальную асимптоту на $x = 2$ .

Таблица значений:

x	-1	-2	0	1	2
y	-2	-5	-1	-2	—

Эти значения помогут нам сделать точный график функции.

Далее занимаемся подбором. Проводим прямые и смотрим в каких случаях прямая будет иметь только одну общую точку. Прямая y=kx проходит через точку начала координат. Значит, пройти она может по касательной к графику параболы и справа и слева. Но так как у нас прямая не содержит точку с абсциссой x=2, то прямая, проходящая через эту точку фактически не пересекает параболу, хотя если мы посмотрим на картинку — прямая 1 выделена синим цветом — пересекает параболу в двух точках, однако одна из них «выколотая» при x=2, параболе не принадлежит.

Прямая 1 проходит через точки (0; 0) и (2; -5):

y = kx \\ -5 = k \cdot 2 \\ k = \frac{-5}{2} \\ k = -2,5

Следовательно, уравнение прямой 1: $y_1 = -2,5x$ .

Построим еще две прямые, которые проходят по касательной к параболе.

Прямая 2 и прямая 3 касаются параболы, имеют 1 общую точку, что означает, что система уравнений

\begin{cases} y = -x^2 - 1 \\ y = kx \end{cases}

имеет только одно решение. Это возможно, если квадратное уравнение, полученное приравниванием правых частей, имеет ровно один корень. Подставляем $y$ из второго уравнения в первое: