Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение
Значение производной — это значение углового коэффициента уравнения касательной, проведенной к графику функции в каждой из указанных точек. А угловой коэффициент — это тангенс угла наклона этой касательной. Таким образом, надо провести касательные к графику функций в каждой из указанных точек и определить углы наклона этих касательных. Так как угол наклона прямо пропорционален тангенсу угла, то чем больше угол, тем больше тангенс. Чем круче касательная, тем больше значение производной по модулю.
Однако, не забывайте знак тангенса в зависимости от угла. Помним что в первой и в третьей четвертях он положительный, а во второй и четвертой — отрицательный.
На экзамене проводя касательные подписывайте их, чтобы потом не спутать. Здесь мы выделили их цветом.
Касательная к точке -2 (зеленая) практически параллельна к оси Ox, потому что угол наклона очень маленький, и угловой коэффициент будет стремиться к нулю.
Касательные к точкам 1 и 2 (синяя и фиолетовая) имеют положительный угол наклона. При этом касательная к точке 2 имеет больший угол наклона, чем касательная к точке 1. Значит, производная в точке 2 будет больше, чем производная в точке 1.
В точке -1, касательная (голубая) имеет тупой угол наклона к оси Ox.
Обратите внимание, что мы определяем угол наклона только между касательной и положительным направлением оси Ox.
Так как угол тупой, он находится во второй четверти, то тангенс угла будет отрицательным.
Итак, среди четырех значений тангенса угла наклона касательной у нас одно отрицательное и три положительных. Конечно, отрицательное значение будет наименьшим.
Таким образом, наименьшее значение производной будет в точке -1.
Ответ: -1.
