Задача. Смешав 41-процентный и 63-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 35-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 45-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 41-процентного раствора использовали для получения смеси?
Решение
Пусть
- x — количество килограммов 41-процентного раствора,
- y — количество килограммов 63-процентного раствора.
Нам нужно в задаче найти x.
Используя принцип сохранения массы вещества, составим уравнения на основе информации, что в конечном растворе концентрация кислоты стала 35% после добавления 10 кг воды и 45% после добавления 10 кг 50%-го раствора.
1. Если добавить воды:
0,41x + 0,63y + 0 = 0,35(x + y + 10)2. Если добавить 50%-ный раствор кислоты:
0,41x + 0,63y + 0.5 \cdot 10 = 0,45(x + y + 10)Теперь у нас есть система уравнений:
\begin{cases} 0,41x + 0,63y = 0,35(x + y + 10) \\ 0,41x + 0,63y + 5 = 0,45(x + y + 10) \end{cases}Раскроем скобки в правой части:
\begin{cases} 0,41x + 0,63y = 0,35x + 0,35y + 3,5 \\ 0,41x + 0,63y + 5 = 0,45x + 0,45y + 4,5 \end{cases}Преобразуем уравнения:
\begin{cases} 0,06x +0,28y = 3,5 \\ -0,04x +0,18y = -0,5 \end{cases}Умножим каждое уравнение системы на 100:
\begin{cases} 6x +28y = 350 \\ -4x + 18y = -50 \end{cases}Сложим два уравнения и запишем полученное уравнение в качестве второго
\begin{cases} 6x +28y = 350 \\ 2x+46y=300 \end{cases}Выражая x из второго уравнения и подставляя в первое, получаем:
6(150-23y)+28y=350 \\ 900-138y+28y=350 \\ -110y=-550 \\ y=5Тогда
x=150-23 \cdot 5=150-115=35Итак, решение системы:
x = 35 \\ y = 5Таким образом, 35 килограммов 41-процентного раствора использовали для получения смеси.
Ответ: 35 кг.
