Задача. Радиус окружности равен \sqrt{6}. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную 3\sqrt{2}. Ответ дайте в градусах.
Решение
Проведем вспомогательные линии на рисунке. И найдем в получившемся треугольнике угол AOB. Так мы определим дугу на которую он опирается, тогда искомый угол ACB будет опираться на оставшуюся часть дуги окружности и будет равен половине этой дуги.
Найдем угол AOB, используя теорему косинусов.
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle AOB)где
- c — длина хорды,
- a и b — длины радиусов, оба равны \sqrt{6},
- \angle AOB — угол между радиусами.
Подставим значения и решим для \cos(\angle AOB):
\displaystyle (3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot (\sqrt{6}) \cdot (\sqrt{6}) \cdot \cos(\angle AOB) \\[5mm] 18 = 6 + 6 - 12\cos(\angle AOB) \\[5mm] 18 = 12 - 12\cos(\angle AOB) \\[5mm] 12\cos(\angle AOB) = 12 - 18 \\[5mm] \cos(\angle AOB) = -\frac{6}{12} \\[5mm] \cos(\angle AOB) = -\frac{1}{2}Значение \cos(\angle AOB) равно \displaystyle -\frac{1}{2} тогда \angle AOB равен 120 градусов (или \displaystyle \frac{2\pi}{3} радиан)
\angle AOB — это центральный угол, и он равен дуге на которую он опирается — 120°.Длина окружности имеет размерность 360°. Значит, на дугу AB, не проходящую через точку С приходится 360º-120º=240º.
Искомый угол опирается на эту дугу, но он не является центральным, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается, то есть 240º/2=120º.
Ответ: 120.
Каждый день сижу тут — уже пробник на 4 написал, экзамен на 5 напишу.