Радиус окружности равен √6. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную 3√2.

Задача. Радиус окружности равен \sqrt{6}. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную 3\sqrt{2}. Ответ дайте в градусах.

Решение

Проведем вспомогательные линии на рисунке. И найдем в получившемся треугольнике угол AOB. Так мы определим дугу на которую он опирается, тогда искомый угол ACB будет опираться на оставшуюся часть дуги окружности и будет равен половине этой дуги.

Найдем угол AOB, используя теорему косинусов.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle AOB)

где

• c — длина хорды,
• a и b — длины радиусов, оба равны \sqrt{6},
• \angle AOB — угол между радиусами.

Подставим значения и решим для \cos(\angle AOB):

\displaystyle (3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot (\sqrt{6}) \cdot (\sqrt{6}) \cdot \cos(\angle AOB) \\[5mm] 18 = 6 + 6 - 12\cos(\angle AOB) \\[5mm] 18 = 12 - 12\cos(\angle AOB) \\[5mm] 12\cos(\angle AOB) = 12 - 18 \\[5mm] \cos(\angle AOB) = -\frac{6}{12} \\[5mm] \cos(\angle AOB) = -\frac{1}{2}

Значение \cos(\angle AOB) равно \displaystyle -\frac{1}{2} тогда \angle AOB равен 120 градусов (или \displaystyle \frac{2\pi}{3} радиан)

\angle AOB — это центральный угол, и он равен дуге на которую он опирается — 120°.

Длина окружности имеет размерность 360°. Значит, на дугу AB, не проходящую через точку С приходится 360º-120º=240º.

Искомый угол опирается на эту дугу, но он не является центральным, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается, то есть 240º/2=120º.

Ответ: 120.