Заказ на изготовление 216 деталей первый рабочий выполняет на 6 часов быстрее, чем второй

Задача. Заказ на изготовление 216 деталей первый рабочий выполняет на 6 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 6 деталей больше второго?

Решение

Для решения задачи обозначим количество деталей, которые изготавливает второй рабочий за час, как x . Тогда первый рабочий изготавливает x + 6 деталей за час.

Время, затрачиваемое вторым рабочим на изготовление 216 деталей, составит \displaystyle \frac{216}{x} часов. Первый рабочий выполнит тот же заказ за \displaystyle \frac{216}{x + 6} часов.

По условию задачи известно, что первый рабочий выполняет заказ на 6 часов быстрее, чем второй, следовательно, можно составить следующее уравнение:

\displaystyle \frac{216}{x} - \frac{216}{x + 6} = 6

Приведем выражение слева к общему знаменателю:

\displaystyle \frac{216(x + 6) - 216x}{x(x + 6)} = 6

Упростим числитель:

\displaystyle \frac{216x + 1296 - 216x}{x(x + 6)} = 6 \\[5mm] \frac{1296}{x(x + 6)} = 6

Умножим обе стороны уравнения на x(x + 6), чтобы избавиться от дроби:

1296 = 6x(x + 6)

Разделим обе стороны на 6, чтобы упростить уравнение:

216 = x^2 + 6x

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем уравнение к стандартному виду:

x^2 + 6x - 216 = 0

Решим квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:

\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

где a = 1, b = 6, и c = -216.

Теперь рассчитаем дискриминант D = b^2 - 4ac:

D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216)

и найдем корни уравнения.

Дискриминант квадратного уравнения x^2 + 6x - 216 = 0 равен D = 900. Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня.

Для нахождения корней используем формулу:

\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Подставляем значения a = 1, b = 6, и D = 900 в формулу, получаем:

\displaystyle x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 1} \\[5mm] x_{1,2} = \frac{-6 \pm 30}{2}

Тогда первый корень:

\displaystyle x_{1} = \frac{-6 + 30}{2}= \frac{24}{2} = 12

Второй корень:

\displaystyle x_{2} = \frac{-6 - 30}{2}= \frac{-36}{2} = -18

Поскольку количество деталей в час не может быть отрицательным, корень x_{2} = -18 не подходит.

Таким образом, действительным решением уравнения является x_{1} = 12, что означает, что второй рабочий изготавливает 12 деталей в час.

Таким образом, второй рабочий изготавливает 12 деталей в час, а первый рабочий — 12 + 6 = 18 деталей в час.

Ответ: 18.