Задача. Внутри параллелограмма ABCD отметили точку M. Докажите, что сумма площадей треугольников АВМ и CDM равна площади треугольника BCD.
Решение
Проведем через точку М общий перпендикуляр KN параллельных сторон АВ и СD. Заметим, что МК является высотой треугольника АВМ, MN – высотой треугольника CDM, а KN можно считать высотой треугольника BCD, так как длина перпендикуляра, проведенного из точки В к стороне CD, будет равна KN.
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к данной стороне.
Сложим площади треугольников АВМ и CDM, и в результате получим площадь треугольника BCD, что и требовалось доказать. На самом деле, так как AB=CD (противолежащие стороны параллелограмма равны), то:
