Рассмотрим случайный телефонный номер. Какова вероятность того, что среди трёх последних цифр этого номера хотя бы две цифры одинаковы?

Задача. Рассмотрим случайный телефонный номер. Какова вероятность того, что среди трёх последних цифр этого номера хотя бы две цифры одинаковы?

Решение

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся методом противоположных событий. Вместо того чтобы искать вероятность того, что среди трех цифр есть хотя бы две одинаковые, мы найдем вероятность противоположного события — что все три цифры различны, и вычтем эту вероятность из 1.

Предположим, что телефонный номер состоит только из цифр от 0 до 9, и каждая цифра равновероятна.

1. Выбор первой цифры не ограничен, поэтому вероятность выбрать любую из 10 возможных цифр равна \displaystyle \frac{10}{10} = 1.
2. Вероятность того, что вторая цифра будет отличаться от первой, составляет \displaystyle \frac{9}{10}, так как из 10 возможных вариантов один уже занят первой цифрой.
3. Аналогично, вероятность того, что третья цифра будет отличной от первых двух, составляет \displaystyle \frac{8}{10}, так как две цифры уже выбраны.

Таким образом, вероятность того, что все три цифры различны, равна произведению вероятностей для каждого шага:

Теперь мы можем вычесть эту вероятность из 1, чтобы получить вероятность того, что хотя бы две цифры совпадают:

Таким образом, вероятность того, что среди трех последних цифр телефонного номера будут хотя бы две одинаковые, составляет 0,28 или 28%.

Ответ: 0,28.