Задача. Найдите значение выражения \displaystyle \frac{\sqrt[24]{a}\sqrt[48]{a}}{a\sqrt[16]{a}} при a=2,5.
Решение
Найдем значение выражения \displaystyle \frac{\sqrt[24]{a}\sqrt[48]{a}}{a\sqrt[16]{a}} при a=2,5.
Для этого нам нужно преобразовать и упростить выражение, используя свойства степеней и корней.
Выражение \displaystyle \frac{\sqrt[24]{a}\sqrt[48]{a}}{a\sqrt[16]{a}} можно упростить, используя свойства степеней. Корень n-ой степени из a можно записать как a^{1/n}. Тогда выражение примет вид:
\displaystyle \frac{a^{1/24} \cdot a^{1/48}}{a \cdot a^{1/16}}Теперь применим свойство степеней: \displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m+n} и \displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}:
\displaystyle \frac{\sqrt[24]{a}\sqrt[48]{a}}{a\sqrt[16]{a}}= \frac{a^{1/24 + 1/48}}{a \cdot a^{1/16}} \\ \frac{\sqrt[24]{a}\sqrt[48]{a}}{a\sqrt[16]{a}}= \frac{a^{1/24 + 1/48}}{a^{1 + 1/16}}Теперь нужно привести дроби к общему знаменателю и сложить их:
\displaystyle \frac{\sqrt[24]{a}\sqrt[48]{a}}{a\sqrt[16]{a}}= \frac{a^{2/48 + 1/48}}{a^{16/16 + 1/16}}=\frac{a^{3/48}}{a^{17/16}}= \frac{a^{1/16}}{a^{17/16}}=a^{1/16 - 17/16}=a^{-16/16}=a^{-1}Итак, упрощенное выражение:
\displaystyle \frac{\sqrt[24]{a}\sqrt[48]{a}}{a\sqrt[16]{a}} = a^{-1}Подставляем значение a=2,5
\displaystyle a^{-1}=\frac{1}{a}=\frac{1}{2,5}=\frac{1}{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}=0,4Ответ: 0,4
