Решение основных задач на дроби, проценты из реальной практики

Тема «Решение основных задач на дроби, проценты из реальной практики» изучается в 7 классе на уроках 15–18. Материал соответствует федеральной рабочей программе основного общего образования (ФРП ООО) и последовательности тем, представленной в конструкторе рабочих программ. На уроках систематизируются три основные задачи на дроби и проценты, разбираются задачи на совместную работу, изменение величины на несколько процентов, скидки, вклады и растворы — то есть ситуации, с которыми приходится сталкиваться в повседневной жизни.

Урок 15. Нахождение дроби от числа и числа по его дроби

Все задачи на дроби сводятся к трём основным типам.

Нахождение дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь: \displaystyle\frac{m}{n} от a равно \displaystyle a\cdot\frac{m}{n}.

Пример 1

В школьной библиотеке 240 книг, \displaystyle\frac{3}{8} из них — учебники. Сколько учебников в библиотеке?

Ответ: 90 учебников.

Нахождение числа по его дроби

Чтобы найти число по известной его дроби, нужно разделить эту величину на дробь: если \displaystyle\frac{m}{n} числа равны b, то всё число равно \displaystyle b:\frac{m}{n}.

Пример 2

За день турист прошёл 36 км, что составляет \displaystyle\frac{2}{5} всего маршрута. Какова длина маршрута?

Ответ: 90 км.

Проверка: \displaystyle90\cdot\frac{2}{5}=36 — верно. Проверка обратной задачей помогает не перепутать умножение и деление.

Пример 3. Дробь от остатка

В книге 360 страниц. В первый день Маша прочитала \displaystyle\frac{1}{4} книги, во второй — \displaystyle\frac{2}{9} оставшихся страниц. Сколько страниц ей осталось прочитать?

Первый день: \displaystyle360\cdot\frac{1}{4}=90 страниц. Остаток: 360-90=270.

Второй день: \displaystyle270\cdot\frac{2}{9}=60 страниц. Осталось: 270-60=210.

Ответ: 210 страниц.

Важно понимать, от какой величины берётся дробь. Во второй день \displaystyle\frac{2}{9} берутся от остатка, а не от всей книги.

Задания к уроку 15

1. Найдите \displaystyle\frac{5}{6} от 72.
2. Найдите 0{,}4 от 35.
3. Найдите число, \displaystyle\frac{3}{7} которого равны 27.
4. В классе 30 учеников, \displaystyle\frac{2}{5} из них — мальчики. Сколько в классе девочек?
5. Турист прошёл \displaystyle\frac{3}{8} пути, после чего ему осталось пройти 15 км. Найдите длину всего пути.

Урок 16. Какую часть одно число составляет от другого. Задачи на совместную работу

Отношение двух величин

Чтобы узнать, какую часть число a составляет от числа b, нужно разделить a на b: \displaystyle\frac{a}{b}. Величины должны быть выражены в одних единицах.

Пример 4

Из 45 учеников 18 занимаются в спортивных секциях. Какую часть учеников это составляет?

Пример 5. Разные единицы измерения

Какую часть часа составляют 24 минуты?

В часе 60 минут: \displaystyle\frac{24}{60}=\frac{2}{5} часа.

Задачи на совместную работу

Если работу выполняют за t часов, то за один час выполняется \displaystyle\frac{1}{t} часть работы — это производительность. При совместной работе производительности складываются.

Пример 6

Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 12 часов. За сколько часов наполнят бассейн обе трубы вместе?

За час первая труба наполняет \displaystyle\frac{1}{6} бассейна, вторая — \displaystyle\frac{1}{12}. Вместе за час:

Весь бассейн (1 целая) наполнится за \displaystyle1:\frac{1}{4}=4 часа.

Ответ: 4 часа.

Задания к уроку 16

1. Какую часть составляют 15 от 40?
2. Какую часть килограмма составляют 250 г?
3. Из 28 задач ученик решил 21. Какую часть задач он решил?
4. Первая труба наполняет бак за 10 минут, вторая — за 15 минут. За сколько минут наполнят бак обе трубы вместе?

Урок 17. Три основные задачи на проценты

Что такое процент

Процентом называют одну сотую часть числа. Слово происходит от латинского pro centum — «на сотню».

Чтобы записать проценты десятичной дробью, число процентов делят на 100:

Некоторые проценты удобно помнить как обыкновенные дроби:

Нахождение процентов от числа

Пример 7

Найти 15% от 840.

Нахождение числа по его процентам

Если p\% числа равны b, то число равно \displaystyle b:\frac{p}{100}.

Пример 8

35% учеников школы — это 63 человека. Сколько учеников в школе?

Ответ: 180 учеников.

Процентное отношение двух чисел

Чтобы узнать, сколько процентов число a составляет от числа b, находят \displaystyle\frac{a}{b}\cdot100\%.

Пример 9

Сколько процентов составляет 27 от 180?

Задания к уроку 17

1. Найдите 12% от 450.
2. Найдите число, 30% которого равны 45.
3. Сколько процентов составляет 18 от 72?
4. Запишите в виде десятичной дроби: 7%, 45%, 150%.

Урок 18. Проценты в реальной жизни

Увеличение и уменьшение на несколько процентов

Если величину a увеличить на p\%, получится \displaystyle a\left(1+\frac{p}{100}\right); если уменьшить на p\% — \displaystyle a\left(1-\frac{p}{100}\right).

Пример 10. Повышение цены

Цена товара 2400 р. повысилась на 15%. Новая цена:

Пример 11. Скидка

Куртка стоит 3500 р. Покупателю предоставили скидку 12%. Сколько он заплатит?

После скидки остаётся 100\%-12\%=88\% цены:

Пример 12. На сколько процентов изменилась величина

Число участников олимпиады выросло с 250 до 300 человек. На сколько процентов оно увеличилось?

Изменение считают от первоначального значения:

Пример 13. Последовательные изменения

Цену 100 р. сначала повысили на 20%, а затем снизили на 20%. Вернулась ли она к прежнему значению?

Цена стала на 4% меньше первоначальной: второе изменение считается уже от 120 р., а не от 100 р.

Пример 14. Банковский вклад

На вклад положили 50 000 р. под 8% годовых. Проценты начисляются раз в год и прибавляются к вкладу. Какой будет сумма через 2 года?

Через год: 50\,000\cdot1{,}08=54\,000 р. Через два года проценты начисляются уже на 54 000 р.:

Короче: 50\,000\cdot1{,}08^2=58\,320 р.

Пример 15. Раствор

В 200 г раствора содержится 15% соли. Сколько граммов соли в растворе?

Пример 16. Задача в формате ОГЭ

Тетрадь стоит 40 р. Какое наибольшее число тетрадей можно купить на 750 р. после снижения цены на 10%?

Новая цена: 40\cdot0{,}9=36 р. Делим: 750:36=20{,}83\ldots Купить можно только целое число тетрадей, причём денег должно хватить.

Ответ: 20 тетрадей.

Задания к уроку 18

1. Цена товара 1200 р. повысилась на 25%. Найдите новую цену.
2. Куртка стоит 6000 р. Сколько она будет стоить со скидкой 15%?
3. Число учеников кружка выросло с 80 до 92. На сколько процентов оно увеличилось?
4. Цену повысили на 20%, а затем понизили на 20%. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной?
5. Тетрадь стоит 24 р. Какое наибольшее число тетрадей можно купить на 500 р., если цена снижена на 15%?

Типичные ошибки

1. Путают нахождение дроби от числа и числа по дроби. Если известна часть, а найти нужно целое, выполняют деление. Ответ полезно проверить обратным действием.
2. Берут дробь не от той величины. «\displaystyle\frac{2}{9} остатка» и «\displaystyle\frac{2}{9} всей книги» — разные числа.
3. Неверно переводят проценты в дробь. 5\%=0{,}05, а не 0{,}5.
4. Считают процентное изменение от нового значения. Изменение всегда сравнивают с первоначальной величиной.
5. Складывают проценты при последовательных изменениях. Повышение на 20% и понижение на 20% не дают исходной цены, а два повышения по 10% дают рост на 21%, а не на 20%.
6. Неправильно округляют в практических задачах. Если денег хватает на 20,83 тетради, купить можно 20 тетрадей, а не 21.

Итоговая самостоятельная работа

Базовый уровень

1. Найдите \displaystyle\frac{3}{4} от 96.
2. Найдите число, \displaystyle\frac{2}{9} которого равны 14.
3. Найдите 7% от 300.
4. Найдите число, 40% которого равны 26.
5. Сколько процентов составляет 15 от 60?

Повышенный уровень

6. Товар стоил 2500 р. и подешевел на 12%. Найдите новую цену.
7. Вклад 20 000 р. положен под 10% годовых, проценты начисляются раз в год и прибавляются к вкладу. Какой будет сумма через 2 года?
8. К 300 г раствора, содержащего 20% соли, добавили 100 г воды. Каким стало процентное содержание соли?
9. Цену дважды повысили на 10%. На сколько процентов она выросла в итоге?
10. В первый день продали \displaystyle\frac{1}{3} всех яблок, во второй — \displaystyle\frac{3}{5} остатка. После этого осталось 48 кг. Сколько килограммов яблок было первоначально?

Ответы

К уроку 15: 1) 60; 2) 14; 3) 63; 4) 18 девочек; 5) 24 км.

К уроку 16: 1) \displaystyle\frac{3}{8}; 2) \displaystyle\frac{1}{4}; 3) \displaystyle\frac{3}{4}; 4) 6 минут.

К уроку 17: 1) 54; 2) 150; 3) 25%; 4) 0{,}07;\ 0{,}45;\ 1{,}5.

К уроку 18: 1) 1500 р.; 2) 5100 р.; 3) на 15%; 4) уменьшилась на 4%; 5) 24 тетради (новая цена 20,40 р., 500:20{,}4=24{,}5\ldots).

Итоговая работа: 1) 72; 2) 63; 3) 21; 4) 65; 5) 25%; 6) 2200 р.; 7) 24 200 р.; 8) 15%; 9) на 21%; 10) 180 кг.

Итоги темы

Задачи на дроби и проценты решаются по трём схемам: найти часть от числа (умножение), найти число по его части (деление) и найти, какую часть одно число составляет от другого (отношение). Процент — это сотая часть, поэтому любую задачу на проценты можно свести к задаче на дроби, записав p\% как \displaystyle\frac{p}{100}. При изменении величины на p\% её умножают на \displaystyle1\pm\frac{p}{100}, а при нескольких последовательных изменениях соответствующие множители перемножают. Эти умения нужны в повседневной жизни — при покупках, оценке скидок и вкладов — и в заданиях ОГЭ и ЕГЭ.