Арифметические действия с рациональными числами

Тема «Арифметические действия с рациональными числами» изучается в 7 классе на уроках 2–6 «Арифметические действия с рациональными числами». Материал соответствует федеральной рабочей программе основного общего образования (ФРП ООО РФ) и последовательности тем, представленной в конструкторе рабочих программ. Пять уроков предназначены для систематизации правил сложения, вычитания, умножения и деления рациональных чисел, отработки порядка действий, применения свойств операций и формирования навыка рациональных вычислений.

Рациональные числа и формы их записи

Рациональное число можно представить дробью

При вычислениях используются обыкновенные дроби, смешанные числа, конечные и периодические десятичные дроби. Перед выполнением действий числа часто приводят к одной удобной форме. Например:

Знак смешанного отрицательного числа относится ко всему числу: -2\frac15=-\left(2+\frac15\right)=-\frac{11}{5}.

Урок 2. Сложение рациональных чисел

Сложение чисел с одинаковыми знаками

Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, складывают их модули и перед результатом ставят общий знак:

Пример 1

Наименьший общий знаменатель чисел 12 и 18 равен 36:

Сложение чисел с разными знаками

Чтобы сложить числа с разными знаками, из большего модуля вычитают меньший и ставят знак числа с большим модулем.

Для a,b\ge0:

Пример 2

Модуль 5,25 больше модуля 3,8, поэтому результат положителен:

Пример 3. Смешанные формы записи

Преобразуем оба числа в обыкновенные дроби:

Свойства сложения

Для любых рациональных чисел a,b,c выполняются:

• переместительное свойство: a+b=b+a;
• сочетательное свойство: (a+b)+c=a+(b+c);
• свойство нуля: a+0=a;
• сумма противоположных чисел: a+(-a)=0.

Эти свойства позволяют группировать удобные слагаемые.

Пример 4. Рациональный приём

Переставим и сгруппируем слагаемые:

Задания к уроку 2

1. -8+(-13)
2. -17+29
3. \frac7{15}+\left(-\frac{11}{20}\right)
4. -2\frac14+1\frac56
5. -6{,}48+2{,}9
6. 3{,}7-8{,}15+6{,}3+8{,}15

Урок 3. Вычитание рациональных чисел

Вычитание заменяют сложением с числом, противоположным вычитаемому:

Это правило едино для положительных, отрицательных, целых и дробных чисел.

Пример 5. Вычитание отрицательного числа

Два стоящих рядом знака минус не «превращаются в плюс» сами по себе: сначала вычитание заменяется сложением, затем число -12 заменяется противоположным числом 12.

Пример 6. Вычитание дробей

Пример 7. Отрицательный результат

Раскрытие скобок перед суммой и разностью

Если перед скобками стоит знак «плюс», знаки слагаемых внутри не меняются. Если перед скобками стоит знак «минус», при раскрытии скобок знаки всех слагаемых меняются на противоположные:

Пример 8

Нахождение неизвестного компонента

Для равенства x+a=b неизвестное слагаемое находится вычитанием: x=b-a. Для равенства x-a=b имеем x=b+a.

Пример 9

Найти x, если x-\frac56=-\frac14.

Задания к уроку 3

1. -9-7
2. 14-(-6)
3. -\frac58-\frac3{10}
4. \frac49-\left(-\frac56\right)
5. -2{,}4-(3{,}7-5{,}1)
6. Решить: x+\frac7{12}=-\frac13.

Урок 4. Умножение рациональных чисел

Правило знаков

Модуль произведения равен произведению модулей множителей. Произведение двух чисел с одинаковыми знаками положительно, с разными знаками — отрицательно:

При нескольких множителях результат положителен, если отрицательных множителей чётное число, и отрицателен, если их число нечётно. Если хотя бы один множитель равен нулю, всё произведение равно нулю.

Пример 10

Знак произведения отрицательный. Сократим множители до умножения:

Пример 11. Несколько отрицательных множителей

Отрицательных множителей три, поэтому результат отрицателен:

Свойства умножения

• ab=ba — переместительное свойство;
• (ab)c=a(bc) — сочетательное свойство;
• a\cdot1=a;
• a\cdot0=0;
• a(b+c)=ab+ac — распределительное свойство.

Пример 12. Вынесение общего множителя

Выносим общий множитель -\frac7{13}:

Пример 13. Распределительное свойство

Можно сначала вычислить в скобках:

Или раскрыть скобки:

Задания к уроку 4

1. (-8)\cdot(-11)
2. -0{,}7\cdot3{,}5
3. \left(-\frac9{14}\right)\cdot\frac{21}{25}
4. \left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac{10}{9}\right)\cdot\left(-\frac34\right)
5. -2{,}7\cdot6{,}4-2{,}7\cdot3{,}6
6. -1\frac23\left(3-\frac35\right)

Урок 5. Деление рациональных чисел

Разделить число a на ненулевое число b — значит умножить a на число, обратное b:

Для дробей:

Правило знаков при делении такое же, как при умножении: частное чисел с одинаковыми знаками положительно, с разными — отрицательно.

Пример 14

Пример 15. Деление смешанных чисел

Нуль при делении

Нуль можно делить на любое ненулевое число:

На нуль делить нельзя. Записи \frac a0 и 0:0 не имеют смысла.

Пример 16. Выражение с переменной

При каких значениях x определено выражение \frac{5}{x+2}?

Деление десятичных дробей

Если делитель — десятичная дробь, запятую в делимом и делителе переносят вправо на одинаковое число разрядов так, чтобы делитель стал целым.

Пример 17

Задания к уроку 5

1. -36:(-9)
2. 5{,}4:(-0{,}6)
3. -\frac8{15}:\frac{16}{25}
4. -3\frac13:\left(-1\frac49\right)
5. 0:\left(-\frac57\right)
6. Указать недопустимое значение x для \frac{7}{3x-12}.

Урок 6. Числовые выражения с рациональными числами

Порядок выполнения действий

1. Сначала выполняются действия в скобках.
2. Затем — возведение в степень, если оно присутствует.
3. После этого — умножение и деление слева направо.
4. В последнюю очередь — сложение и вычитание слева направо.

Дробная черта выполняет роль скобок: отдельно вычисляются выражения в числителе и знаменателе.

Пример 18. Все четыре действия

Вычислить:

Первое действие:

Второе действие:

Умножение:

Деление:

Пример 19. Дробная черта

Числитель:

Знаменатель:

Значение выражения:

Пример 20. Выбор удобной формы записи

Десятичные дроби удобно заменить обыкновенными:

Пример 21. Применение свойств действий

Вынесение общего множителя сокращает число вычислительных действий и уменьшает вероятность ошибки.

Практические задачи

Задача 1. Температура воздуха

Утром температура была -4{,}5^\circ\mathrm C. Днём она повысилась на 7{,}8^\circ\mathrm C, а вечером понизилась на 3{,}6^\circ\mathrm C. Найти вечернюю температуру.

Ответ: -0{,}3^\circ\mathrm C.

Задача 2. Изменение уровня воды

За первый час уровень воды изменился на -\frac7{12} м, за второй — на +\frac5{18} м. Каково общее изменение?

Ответ: уровень понизился на \frac{11}{36} м.

Задача 3. Среднее изменение

Баланс счёта изменялся в течение четырёх дней на +240, -175, -90 и +125 условных единиц. Найти среднее изменение за день.

Ответ: среднее увеличение равно 25 условным единицам в день.

Как проверять результат вычислений

• Оценка знака. До вычисления определяется ожидаемый знак результата.
• Прикидка. Числа округляются до удобных значений. Если -5{,}02+1{,}98 получилось положительным, допущена ошибка.
• Обратное действие. Результат деления проверяется умножением, результат вычитания — сложением.
• Проверка модулей. При сложении чисел с разными знаками модуль суммы не может превышать больший из модулей слагаемых.
• Другая форма записи. Вычисление с десятичными дробями можно проверить через обыкновенные дроби.

Типичные ошибки при действиях с рациональными числами

1. Складывают модули чисел с разными знаками. Нужно найти разность модулей и поставить знак числа с большим модулем.
2. Не меняют знак вычитаемого. В равенстве a-b=a+(-b) противоположным становится всё вычитаемое.
3. Складывают числители и знаменатели. Равенство \frac ab+\frac cd=\frac{a+c}{b+d} неверно; сначала нужен общий знаменатель.
4. При делении переворачивают обе дроби. Обратной заменяется только вторая дробь.
5. Сокращают числа через знак сложения. Сокращение возможно только у множителей числителя и знаменателя.
6. Нарушают порядок действий. Умножение и деление имеют одинаковую ступень и выполняются слева направо; то же относится к сложению и вычитанию.
7. Теряют знак смешанного числа. -1\frac25=-\frac75, а не -\frac35.
8. Допускают деление на нуль. Перед делением нужно проверить, что делитель не равен нулю.

Итоговая самостоятельная работа

Базовый уровень

1. -15+8
2. -6-(-11)
3. -\frac7{18}+\frac5{12}
4. \frac{11}{15}-\left(-\frac29\right)
5. -\frac{14}{25}\cdot\frac{15}{28}
6. -\frac56:\left(-\frac{25}{18}\right)
7. -3{,}6\cdot(-0{,}25)
8. 4{,}2:(-0{,}7)

Повышенный уровень

9. \left(-\frac58+\frac7{12}\right):\frac5{18}
10. -2\frac13-\left(1\frac56-4\frac12\right)
11. 6{,}27\cdot3{,}4-6{,}27\cdot2{,}4
12. \frac{\frac34-1{,}25}{-\frac23+\frac16}
13. Решить: x-\frac7{10}=-1\frac3{20}.
14. Решить: -\frac49x=\frac23.
15. Найти значение \frac{2a-3b}{6} при a=-1{,}5, b=\frac23.
16. Температура была -6{,}8^\circ\mathrm C, повысилась на 9{,}3^\circ\mathrm C, затем понизилась на 4{,}7^\circ\mathrm C. Найти итоговую температуру.

Ответы

К уроку 2: 1) -21; 2) 12; 3) -\frac1{12}; 4) -\frac5{12}; 5) -3{,}58; 6) 10.

К уроку 3: 1) -16; 2) 20; 3) -\frac{37}{40}; 4) \frac{23}{18}=1\frac5{18}; 5) -1; 6) x=-\frac{11}{12}.

К уроку 4: 1) 88; 2) -2{,}45; 3) -\frac{27}{50}; 4) -\frac12; 5) -27; 6) -4.

К уроку 5: 1) 4; 2) -9; 3) -\frac56; 4) \frac{30}{13}=2\frac4{13}; 5) 0; 6) x=4.

Итоговая работа: 1) -7; 2) 5; 3) \frac1{36}; 4) \frac{43}{45}; 5) -\frac3{10}; 6) \frac35; 7) 0{,}9; 8) -6; 9) -\frac3{20}; 10) \frac13; 11) 6{,}27; 12) 1; 13) x=-\frac9{20}; 14) x=-\frac32; 15) -\frac56; 16) -2{,}2^\circ\mathrm C.

Итоги темы

Арифметические действия с рациональными числами подчиняются единым правилам знаков и свойствам сложения и умножения. Надёжное вычисление строится на четырёх действиях: привести числа к удобной форме, определить знак результата, выполнить операции в установленном порядке и проверить ответ оценкой или обратным действием. Свободное владение этими правилами необходимо при преобразовании алгебраических выражений, решении уравнений, работе с функциями и выполнении практико-ориентированных задач.