Реальные зависимости. Прямая и обратная пропорциональности

Тема «Реальные зависимости. Прямая и обратная пропорциональности» изучается в 7 классе на уроках 21–24. Материал соответствует федеральной рабочей программе основного общего образования (ФРП ООО) и последовательности тем, представленной в конструкторе рабочих программ. На уроках рассматриваются зависимости между величинами из повседневной жизни, отношения и пропорции, прямая и обратная пропорциональности и решение практических задач с их помощью. Эта тема готовит к изучению функций, линейной функции и графиков.

Урок 21. Зависимости между величинами. Отношения и пропорции

Как одна величина зависит от другой

В жизни многие величины связаны между собой: стоимость покупки зависит от количества товара, пройденный путь — от времени движения, время в пути — от скорости. Зависимость можно задать словами, таблицей, формулой или графиком.

Например, если 1 кг яблок стоит 90 р., то стоимость C покупки m кг выражается формулой C=90m:

Отношение и пропорция

Отношением двух чисел называют их частное: a:b, или \displaystyle\frac{a}{b}. Пропорция — это равенство двух отношений: \displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}. Числа a и d называют крайними членами пропорции, b и c — средними.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних: если \displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}, то ad=bc.

Пример 1

Найдите x из пропорции \displaystyle\frac{x}{15}=\frac{4}{6}.

Пример 2

Решите пропорцию 2{,}4:x=3:5.

Задания к уроку 21

1. Найдите неизвестный член пропорции: а) x:8=15:24; б) \displaystyle\frac{3}{x}=\frac{12}{20}; в) 1{,}5:x=4{,}5:6.
2. Верна ли пропорция 14:21=6:9?
3. Составьте две пропорции из равенства 4\cdot15=6\cdot10.

Урок 22. Прямая пропорциональность

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Прямая пропорциональность задаётся формулой y=kx, где k\ne0 — коэффициент пропорциональности. Отношение соответствующих значений постоянно: \displaystyle\frac{y}{x}=k.

Примеры прямой пропорциональности: стоимость товара и его количество (при постоянной цене), путь и время (при постоянной скорости), периметр квадрата и длина его стороны (P=4a).

График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат.

Пример 3

Величины заданы таблицей. Являются ли они прямо пропорциональными?

Находим отношения: \displaystyle\frac{6}{1}=\frac{12}{2}=\frac{18}{3}=\frac{24}{4}=6. Отношение постоянно, значит, величины прямо пропорциональны, k=6, y=6x.

Пример 4. Решение задачи с помощью пропорции

5 кг яблок стоят 450 р. Сколько стоят 8 кг таких же яблок?

Стоимость прямо пропорциональна массе: во сколько раз больше масса, во столько же раз больше стоимость. Удобно записать условие столбиками и поставить стрелки: у прямой пропорциональности они направлены в одну сторону.

Ответ: 720 р.

Пример 5. Рецепт

На 4 порции блинов нужно 300 г муки. Сколько муки нужно на 6 порций?

Ответ: 450 г.

Задания к уроку 22

1. Величина y прямо пропорциональна x; при x=4 значение y=10. Найдите коэффициент k и значение y при x=7.
2. За 3 ч поезд прошёл 180 км. Какое расстояние он пройдёт за 5 ч, двигаясь с той же скоростью?
3. Из 10 кг молока получается 1,5 кг творога. Сколько творога получится из 36 кг молока?
4. Величины x и y прямо пропорциональны, при x=2 значение y=7. Найдите y при x=5 и при x=8.

Урок 23. Обратная пропорциональность

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Обратная пропорциональность задаётся формулой \displaystyle y=\frac{k}{x}, где k\ne0. Произведение соответствующих значений постоянно: xy=k.

Примеры обратной пропорциональности: скорость и время при движении на одно и то же расстояние (vt=s), число рабочих и время выполнения работы (при одинаковой производительности), длина и ширина прямоугольника постоянной площади (ab=S).

График обратной пропорциональности — кривая, которая называется гиперболой (на рисунке выше показана её часть при x\gt0).

Пример 6

Автомобиль со скоростью 60 км/ч проходит расстояние между городами за 4 ч. За какое время он пройдёт это расстояние со скоростью 80 км/ч?

Скорость и время обратно пропорциональны: скорость увеличилась в \displaystyle\frac{80}{60} раза, значит, время уменьшится во столько же раз. Стрелки на схеме направлены навстречу друг другу, поэтому одно из отношений «переворачиваем»:

Ответ: 3 ч.

Проверка через произведение: 60\cdot4=240=80\cdot3 — расстояние одно и то же.

Пример 7

6 рабочих выполняют заказ за 12 дней. За сколько дней выполнят этот заказ 9 рабочих, работающих с той же производительностью?

Произведение «число рабочих × число дней» постоянно: 6\cdot12=72. Тогда 9\cdot x=72, x=8.

Ответ: 8 дней.

Задания к уроку 23

1. Величина y обратно пропорциональна x; при x=3 значение y=12. Найдите k и значение y при x=9.
2. 8 насосов откачивают воду из котлована за 15 ч. За сколько часов откачают воду 12 таких насосов?
3. Со скоростью 90 км/ч автобус проезжает маршрут за 4 ч. Сколько времени займёт поездка со скоростью 72 км/ч?
4. Из рулона ткани можно сшить 12 платьев, если на каждое уходит 2,5 м. Сколько платьев получится, если на каждое расходовать 2 м?

Урок 24. Решение задач. Как распознать вид зависимости

Прежде чем составлять пропорцию, нужно определить вид зависимости. Помогают вопросы:

• Если одна величина увеличится в 2 раза, то другая увеличится в 2 раза? — прямая пропорциональность.
• Если одна величина увеличится в 2 раза, то другая уменьшится в 2 раза? — обратная пропорциональность.
• Ни то, ни другое — величины не пропорциональны, и пропорцию составлять нельзя.

Не всякая возрастающая зависимость — прямая пропорциональность. Например, поездка на такси стоит 100 р. за посадку и 25 р. за каждый километр: C=100+25s. Стоимость растёт вместе с расстоянием, но при увеличении расстояния в 2 раза не увеличивается в 2 раза: 5 км стоят 225 р., а 10 км — 350 р.

Пример 8

Определите вид зависимости:

• y=5x — прямая пропорциональность, k=5;
• y=x+5 — не является пропорциональностью;
• \displaystyle y=\frac{20}{x} — обратная пропорциональность, k=20;
• \displaystyle y=\frac{x}{3} — прямая пропорциональность, \displaystyle k=\frac{1}{3};
• возраст человека и его рост — не пропорциональны.

Пример 9. Масштаб

Масштаб карты 1:50\,000. Каково расстояние на местности, если на карте оно равно 3 см?

1 см на карте соответствует 50 000 см, то есть 500 м на местности. Расстояния прямо пропорциональны: 3\cdot500=1500 м.

Ответ: 1,5 км.

Задания к уроку 24

1. 7 тетрадей стоят 245 р. Сколько стоят 12 таких тетрадей?
2. Масштаб карты 1:200\,000. Расстояние между сёлами на карте 4,5 см. Каково расстояние на местности?
3. Для перевозки груза нужно 15 машин грузоподъёмностью 4 т. Сколько потребуется машин грузоподъёмностью 6 т?
4. Какие из формул задают прямую пропорциональность, какие — обратную, а какие — ни ту, ни другую: а) y=-3x; б) y=2x-1; в) \displaystyle y=\frac{7}{x}; г) xy=1; д) \displaystyle y=\frac{x}{4}?

Типичные ошибки

1. Не определяют вид зависимости. В задаче об обратной пропорциональности составляют пропорцию «как для прямой» и получают, что 9 рабочих работают дольше, чем 6. Ответ полезно проверить здравым смыслом.
2. Считают любую возрастающую зависимость прямой пропорциональностью. Зависимость y=x+5 возрастающая, но не пропорциональная: отношение \displaystyle\frac{y}{x} не постоянно.
3. Путают отношения в пропорции. Отношения составляют из однородных величин: масса к массе, цена к цене.
4. Забывают переводить единицы измерения. В задачах на масштаб сантиметры на карте переводят в метры или километры на местности.
5. Ошибаются в основном свойстве. Перемножают «крест-накрест» крайние и средние члены, а не числители и знаменатели одной дроби.

Итоговая самостоятельная работа

Базовый уровень

1. Решите пропорцию 7:x=21:12.
2. 4 кг конфет стоят 1 200 р. Сколько стоят 7 кг таких конфет?
3. 5 маляров могут покрасить забор за 6 дней. За сколько дней покрасят этот забор 3 маляра?
4. Величина y прямо пропорциональна x, при x=6 значение y=-18. Найдите коэффициент пропорциональности.
5. Величина y обратно пропорциональна x, при x=4 значение y=5. Найдите y при x=10.

Повышенный уровень

6. Длина шага пешехода 0,6 м, на путь до школы он делает 1 500 шагов. Сколько шагов сделает на этом пути человек с длиной шага 0,75 м?
7. Длины окружностей двух колёс 1,2 м и 0,8 м. На некотором расстоянии большее колесо сделало 200 оборотов. Сколько оборотов сделало меньшее колесо?
8. Из 8 кг свежих груш получается 1,2 кг сушёных. Сколько свежих груш нужно, чтобы получить 3 кг сушёных?
9. Раньше на некоторую сумму можно было купить 20 тетрадей. Цена тетради снизилась на 20%. Сколько тетрадей можно купить на ту же сумму теперь?
10. Величины x и y обратно пропорциональны. Как изменится y, если x увеличить на 25%?

Решение итоговой самостоятельной работы

Ниже каждое задание разобрано по шагам. Сначала определяем, о какой зависимости идёт речь, затем составляем пропорцию или находим коэффициент и в конце проверяем ответ.

Задание 1

Решите пропорцию 7:x=21:12.

Решение. Крайние члены пропорции — 7 и 12, средние — x и 21. По основному свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних:

Проверка: 7:4=1{,}75 и 21:12=1{,}75 — отношения равны.

Ответ: 4.

Задание 2

4 кг конфет стоят 1 200 р. Сколько стоят 7 кг таких конфет?

Решение. Цена 1 кг постоянна, поэтому стоимость прямо пропорциональна массе: во сколько раз больше конфет, во столько раз больше нужно заплатить. Запишем условие столбиками: стрелки направлены в одну сторону.

Составляем пропорцию из отношений однородных величин (масса к массе, стоимость к стоимости):

Другой способ. Найдём цену 1 кг: 1200:4=300 р. Тогда 7 кг стоят 300\cdot7=2100 р.

Ответ: 2 100 р.

Задание 3

5 маляров могут покрасить забор за 6 дней. За сколько дней покрасят этот забор 3 маляра?

Решение. Чем меньше маляров, тем больше времени понадобится: число маляров и число дней обратно пропорциональны. На схеме (задание 3 на рисунке выше) стрелки направлены навстречу друг другу, поэтому одно отношение записываем «перевёрнутым»:

Другой способ. Вся работа — это 5\cdot6=30 «маляро-дней» (столько дней работы понадобилось бы одному маляру). Три маляра выполнят её за 30:3=10 дней.

Проверка здравым смыслом: маляров стало меньше, дней — больше. Всё верно.

Ответ: 10 дней.

Задание 4

Величина y прямо пропорциональна x, при x=6 значение y=-18. Найдите коэффициент пропорциональности.

Решение. Прямая пропорциональность задаётся формулой y=kx, значит, \displaystyle k=\frac{y}{x}:

Зависимость имеет вид y=-3x. Коэффициент может быть отрицательным: тогда при положительных x значения y отрицательны.

Проверка: -3\cdot6=-18.

Ответ: k=-3.

Задание 5

Величина y обратно пропорциональна x, при x=4 значение y=5. Найдите y при x=10.

Решение. Обратная пропорциональность задаётся формулой \displaystyle y=\frac{k}{x}, и произведение xy постоянно и равно k:

Значит, \displaystyle y=\frac{20}{x}. При x=10:

Проверка: x увеличился в 2,5 раза (с 4 до 10), а y уменьшился в 2,5 раза (с 5 до 2).

Ответ: 2.

Задание 6

Длина шага пешехода 0,6 м, на путь до школы он делает 1 500 шагов. Сколько шагов сделает на этом пути человек с длиной шага 0,75 м?

Решение. Путь один и тот же, поэтому длина шага и число шагов обратно пропорциональны: чем длиннее шаг, тем меньше шагов (задание 6 на рисунке выше).

Способ 1 — через длину пути. Найдём длину пути: 0{,}6\cdot1500=900 м. Тогда число шагов второго человека:

Способ 2 — пропорцией.

Проверка: 0{,}75\cdot1200=900 м — путь тот же.

Ответ: 1 200 шагов.

Задание 7

Длины окружностей двух колёс 1,2 м и 0,8 м. На некотором расстоянии большее колесо сделало 200 оборотов. Сколько оборотов сделало меньшее колесо?

Решение. За один оборот колесо проходит путь, равный длине своей окружности. Оба колеса проходят одно и то же расстояние, поэтому длина окружности и число оборотов обратно пропорциональны.

Расстояние: 1{,}2\cdot200=240 м. Число оборотов меньшего колеса:

Пропорцией: \displaystyle\frac{0{,}8}{1{,}2}=\frac{200}{x},\qquad x=\frac{1{,}2\cdot200}{0{,}8}=300.

Проверка здравым смыслом: меньшее колесо должно крутиться чаще — 300 оборотов больше, чем 200.

Ответ: 300 оборотов.

Задание 8

Из 8 кг свежих груш получается 1,2 кг сушёных. Сколько свежих груш нужно, чтобы получить 3 кг сушёных?

Решение. Чем больше свежих груш, тем больше сушёных, причём во столько же раз: масса сушёных груш прямо пропорциональна массе свежих.

Другой способ. Сушёных груш нужно в 3:1{,}2=2{,}5 раза больше, значит, и свежих нужно в 2,5 раза больше: 8\cdot2{,}5=20 кг.

Ответ: 20 кг.

Задание 9

Раньше на некоторую сумму можно было купить 20 тетрадей. Цена тетради снизилась на 20%. Сколько тетрадей можно купить на ту же сумму теперь?

Решение. Сумма денег постоянна, поэтому цена тетради и количество тетрадей обратно пропорциональны.

После снижения на 20% новая цена составляет 100\%-20\%=80\% прежней, то есть 0{,}8 прежней цены. Цена уменьшилась в 1:0{,}8=1{,}25 раза, значит, тетрадей можно купить в 1,25 раза больше:

Проверка на числах. Пусть тетрадь стоила 10 р. Тогда сумма равна 20\cdot10=200 р. Новая цена 10\cdot0{,}8=8 р., и на 200 р. можно купить 200:8=25 тетрадей.

Частая ошибка — ответ 24 «на 20% больше тетрадей». Количество увеличивается не на 20%, а в 1,25 раза, то есть на 25%.

Ответ: 25 тетрадей.

Задание 10

Величины x и y обратно пропорциональны. Как изменится y, если x увеличить на 25%?

Решение. Пусть \displaystyle y=\frac{k}{x}. После увеличения на 25% новое значение x равно 1{,}25x. Тогда новое значение y:

Новое значение составляет 80% прежнего, то есть y уменьшился на 100\%-80\%=20\%.

Проверка на числах. Пусть k=20, x=4, тогда y=5. Увеличим x на 25%: 4\cdot1{,}25=5. Новое \displaystyle y=\frac{20}{5}=4. Значение уменьшилось с 5 до 4, то есть на 1, а это \displaystyle\frac{1}{5}=20\% от 5.

Уменьшение не на 25%, а на 20%: увеличение в 1,25 раза одной величины даёт уменьшение другой в 1,25 раза, а \displaystyle\frac{1}{1{,}25}=0{,}8.

Ответ: y уменьшится на 20%.

Ответы

К уроку 21: 1) а) 5; б) 5; в) 2; 2) верна: 14\cdot9=21\cdot6=126; 3) например, 4:6=10:15 и 4:10=6:15.

К уроку 22: 1) k=2{,}5, y=17{,}5; 2) 300 км; 3) 5,4 кг; 4) 17,5 и 28.

К уроку 23: 1) k=36, y=4; 2) 10 ч; 3) 5 ч; 4) 15 платьев.

К уроку 24: 1) 420 р.; 2) 9 км; 3) 10 машин; 4) прямая — а), д); обратная — в), г); ни та, ни другая — б).

Итоговая работа: 1) 4; 2) 2 100 р.; 3) 10 дней; 4) k=-3; 5) 2; 6) 1 200 шагов; 7) 300 оборотов; 8) 20 кг; 9) 25 тетрадей; 10) уменьшится на 20% (станет \displaystyle\frac{y}{1{,}25}=0{,}8y).

Итоги темы

Зависимости между величинами задают словами, таблицей, формулой или графиком. Пропорция — равенство двух отношений, и в ней произведение крайних членов равно произведению средних. При прямой пропорциональности y=kx отношение \displaystyle\frac{y}{x} постоянно, а график — прямая через начало координат. При обратной пропорциональности \displaystyle y=\frac{k}{x} постоянно произведение xy, а график — гипербола. Перед решением задачи нужно определить вид зависимости, а после — проверить ответ здравым смыслом. Эти знания понадобятся при изучении функций и их графиков.