Сравнение, упорядочивание рациональных чисел

Тема «Сравнение, упорядочивание рациональных чисел» изучается в 7 классе на уроках 7–9. Материал соответствует федеральной рабочей программе основного общего образования (ФРП ООО) и последовательности тем, представленной в конструкторе рабочих программ. Уроки посвящены правилам сравнения положительных и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, расположению чисел в порядке возрастания и убывания, а также применению этих умений в задачах с координатной прямой и в практических ситуациях.

Урок 7. Сравнение рациональных чисел

Сравнение с помощью координатной прямой

На горизонтальной координатной прямой положительное направление указано стрелкой вправо. Из двух чисел больше то, которое изображается точкой, расположенной правее, и меньше то, которое расположено левее.

Из рисунка видно, что -4\lt-1{,}5\lt0\lt3. Запись, в которой несколько чисел соединены знаками «меньше» или «больше», называют двойным или цепочным неравенством.

Правила сравнения

• любое положительное число больше нуля: a\gt0;
• любое отрицательное число меньше нуля: a\lt0;
• любое положительное число больше любого отрицательного числа;
• из двух положительных чисел больше то, модуль которого больше;
• из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Последнее правило вызывает больше всего ошибок. Отрицательное число тем меньше, чем дальше оно находится от нуля, то есть чем больше его модуль.

Пример 1

Сравнить -7{,}3 и 0{,}1.

Отрицательное число меньше любого положительного, поэтому -7{,}3\lt0{,}1. Модули чисел здесь сравнивать не нужно.

Пример 2

Сравнить -4{,}5 и -2.

Оба числа отрицательные. Сравним модули: |-4{,}5|=4{,}5, |-2|=2, 4{,}5\gt2. Больше то число, модуль которого меньше:

Сравнение обыкновенных дробей

Для положительных дробей действуют три правила.

1. Одинаковые знаменатели. Больше та дробь, у которой больше числитель: \displaystyle\frac{7}{11}\gt\frac{5}{11}.
2. Одинаковые числители. Больше та дробь, у которой меньше знаменатель: \displaystyle\frac{5}{7}\gt\frac{5}{9}. Чем на большее число долей разделено целое, тем меньше каждая доля.
3. Разные числители и знаменатели. Дроби приводят к общему знаменателю или сравнивают «крест-накрест»:

Пример 3

Сравнить \displaystyle\frac{7}{12} и \displaystyle\frac{11}{18}.

Способ 1. Наименьший общий знаменатель чисел 12 и 18 равен 36:

Способ 2. Перекрёстное умножение: 7\cdot18=126, 12\cdot11=132, 126\lt132.

Ответ: \displaystyle\frac{7}{12}\lt\frac{11}{18}.

Пример 4. Отрицательные дроби

Сравнить \displaystyle-\frac{3}{8} и \displaystyle-\frac{5}{12}.

Сравним модули, приведя их к знаменателю 24:

Модуль первого числа меньше, значит, первое число больше:

Сравнение десятичных дробей

Положительные десятичные дроби сравнивают поразрядно: сначала целые части, затем десятые, сотые и так далее. Чтобы не ошибиться, полезно уравнять число знаков после запятой, дописав нули справа: 0{,}31=0{,}310.

Пример 5

Сравнить -0{,}307 и -0{,}31.

Модули: 0{,}307 и 0{,}310. Поскольку 0{,}307\lt0{,}310, модуль первого числа меньше, и

Пример 6. Разные формы записи

Сравнить \displaystyle-1\frac{3}{8} и -1{,}4.

Переведём смешанное число в десятичную дробь: \displaystyle1\frac{3}{8}=1{,}375. Так как 1{,}375\lt1{,}4, получаем

Задания к уроку 7

Сравните числа:

1. -12 и 3;
2. -6{,}08 и -6{,}8;
3. \displaystyle\frac{5}{9} и \displaystyle\frac{7}{12};
4. \displaystyle-\frac{4}{15} и \displaystyle-\frac{3}{10};
5. \displaystyle-2\frac{1}{6} и -2{,}15;
6. 0{,}(3) и 0{,}33.

Урок 8. Упорядочивание рациональных чисел

Порядок действий

Расположить числа в порядке возрастания — значит записать их от меньшего к большему, в порядке убывания — от большего к меньшему. Удобно действовать так:

1. разделить числа на три группы: отрицательные, ноль, положительные;
2. внутри каждой группы привести числа к одной форме записи (все — десятичные дроби или все — обыкновенные с общим знаменателем);
3. упорядочить числа внутри групп, помня, что у отрицательных чисел порядок модулей обратный;
4. записать результат в виде цепочки неравенств.

Пример 7

Расположить в порядке возрастания числа \displaystyle-0{,}6;\ \frac{2}{5};\ -\frac{3}{4};\ 0;\ 0{,}45;\ -\frac{2}{3}.

Отрицательные: -0{,}6, \displaystyle-\frac{3}{4}=-0{,}75, \displaystyle-\frac{2}{3}=-0{,}666\ldots Модули: 0{,}6\lt0{,}666\ldots\lt0{,}75, поэтому

Положительные: \displaystyle\frac{2}{5}=0{,}4\lt0{,}45.

Ответ: \displaystyle-\frac{3}{4}\lt-\frac{2}{3}\lt-0{,}6\lt0\lt\frac{2}{5}\lt0{,}45.

Сравнение с опорным числом

Иногда дроби удобнее сравнить не между собой, а с промежуточным числом, например с \displaystyle\frac{1}{2} или с 1. Если a\lt c и c\lt b, то a\lt b.

Пример 8. Сравнение с половиной

Сравнить \displaystyle\frac{13}{27} и \displaystyle\frac{15}{28}.

Половина от 27 равна 13,5, а 13\lt13{,}5, поэтому \displaystyle\frac{13}{27}\lt\frac{1}{2}. Половина от 28 равна 14, а 15\gt14, поэтому \displaystyle\frac{15}{28}\gt\frac{1}{2}. Следовательно,

Пример 9. Сравнение «дополнений» до единицы

Сравнить \displaystyle\frac{17}{18} и \displaystyle\frac{21}{22}.

Обе дроби меньше 1. Найдём, сколько каждой не хватает до единицы:

Так как \displaystyle\frac{1}{18}\gt\frac{1}{22}, первой дроби не хватает до единицы больше, значит, она меньше:

Числа между двумя данными

Между любыми двумя различными рациональными числами есть другие рациональные числа. Одно из них — среднее арифметическое:

Пример 10

Найти рациональное число, заключённое между \displaystyle-\frac{1}{3} и \displaystyle-\frac{1}{4}.

Проверка: \displaystyle-\frac{8}{24}\lt-\frac{7}{24}\lt-\frac{6}{24}, то есть \displaystyle-\frac{1}{3}\lt-\frac{7}{24}\lt-\frac{1}{4}.

Пример 11. Целые числа на промежутке

Выписать все целые числа, заключённые между -3{,}7 и \displaystyle2\frac{1}{4}.

Ближайшее целое число справа от -3{,}7 — это -3; ближайшее целое слева от \displaystyle2\frac{1}{4} — это 2.

Ответ: -3;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2 — всего шесть чисел.

Задания к уроку 8

1. Расположите в порядке возрастания: \displaystyle-1{,}5;\ 0{,}25;\ -1\frac{2}{3};\ \frac{1}{3};\ -0{,}5.
2. Расположите в порядке убывания: \displaystyle\frac{3}{8};\ -0{,}4;\ 0{,}35;\ -\frac{3}{7};\ 0{,}4.
3. Сравните, используя число \displaystyle\frac{1}{2}: \displaystyle\frac{8}{17} и \displaystyle\frac{11}{20}.
4. Сравните, не приводя к общему знаменателю: \displaystyle\frac{23}{24} и \displaystyle\frac{19}{20}.
5. Назовите какое-нибудь число, заключённое между 0{,}7 и 0{,}71.
6. Сколько целых чисел расположено между -5{,}2 и 3{,}9?

Урок 9. Сравнение чисел в задачах

Числа на координатной прямой

В заданиях ОГЭ часто требуется определить, какой точке соответствует число, или выбрать верное утверждение о числе, отмеченном на прямой. Сначала нужно найти цену деления шкалы.

Пример 12

Какая из точек соответствует числу \displaystyle-\frac{5}{4}?

Отрезок от 0 до 1 разделён на 4 части, значит, цена деления равна \displaystyle\frac{1}{4}=0{,}25. Число \displaystyle-\frac{5}{4}=-1{,}25 находится на одно деление левее -1. Это точка B.

Аналогично определяются координаты остальных точек: \displaystyle A=-2\frac{3}{4}, \displaystyle C=\frac{1}{2}, \displaystyle D=1\frac{3}{4}.

Пример 13. Выбор верного утверждения

Число a отмечено на координатной прямой между -2 и -1. Какое из утверждений верно?

1. a+1\gt0;
2. a^2\gt1;
3. -a\lt1;
4. \displaystyle\frac{1}{a}\lt-1.

Решение. Из условия -2\lt a\lt-1. Оценим каждое выражение.

• -1\lt a+1\lt0, поэтому утверждение 1 неверно;
• модуль a больше 1, значит, 1\lt a^2\lt4 — утверждение 2 верно;
• 1\lt-a\lt2, поэтому утверждение 3 неверно;
• \displaystyle-1\lt\frac{1}{a}\lt-\frac{1}{2}, поэтому утверждение 4 неверно.

Ответ: 2.

Пример 14. Практическая задача

В четырёх городах в одно и то же время зафиксирована температура: -12{,}5^\circ\mathrm C, -8^\circ\mathrm C, -15{,}3^\circ\mathrm C, \displaystyle-9\frac{3}{4}{}^\circ\mathrm C. Расположить значения от самого холодного к самому тёплому.

Переведём смешанное число в десятичную дробь: \displaystyle-9\frac{3}{4}=-9{,}75. Все числа отрицательные, поэтому самое холодное значение — с наибольшим модулем:

Ответ: самая низкая температура -15{,}3^\circ\mathrm C, самая высокая -8^\circ\mathrm C.

Задания к уроку 9

1. По рисунку выше определите, какие точки соответствуют числам 1{,}75 и -2{,}75.
2. Число b отмечено на координатной прямой между 2 и 3. Какое из утверждений верно: 1) b-3\gt0; 2) -b\gt-2; 3) \displaystyle\frac{1}{b}\lt\frac{1}{2}; 4) b^2\lt4?
3. Температура воздуха по дням недели: понедельник -3{,}4^\circ, вторник \displaystyle-5\frac{1}{2}{}^\circ, среда -2{,}8^\circ, четверг -4{,}05^\circ. Расположите значения в порядке возрастания. В какой день было холоднее всего, а в какой — теплее?
4. Расположите в порядке возрастания: \displaystyle-\frac{2}{7};\ -0{,}3;\ -0{,}(2).

Типичные ошибки

1. Сравнивают отрицательные числа как положительные. Из 5\gt3 следует -5\lt-3, а не наоборот.
2. Считают, что дробь с большим знаменателем больше. При одинаковых числителях всё наоборот: \displaystyle\frac{1}{8}\lt\frac{1}{5}.
3. Сравнивают десятичные дроби по количеству цифр. 0{,}5\gt0{,}375, хотя во втором числе цифр больше. Нужно уравнять число знаков: 0{,}500\gt0{,}375.
4. Забывают про знак при переводе смешанного числа. \displaystyle-2\frac{1}{4}=-2{,}25, а не -1{,}75.
5. Путают периодическую и конечную дробь. 0{,}(3)=0{,}333\ldots\gt0{,}33.
6. Неверно определяют цену деления шкалы. Сначала считают, на сколько частей разделён единичный отрезок, и только потом находят координату точки.

Итоговая самостоятельная работа

Базовый уровень

Сравните числа:

1. -0{,}9 и -0{,}89;
2. \displaystyle\frac{4}{7} и \displaystyle\frac{5}{9};
3. \displaystyle-\frac{5}{6} и -0{,}8;
4. |-3{,}2| и |2{,}9|.

Повышенный уровень

5. Расположите в порядке возрастания: \displaystyle-\frac{1}{6};\ -0{,}2;\ 0{,}15;\ \frac{1}{7};\ 0.
6. Сравните \displaystyle\frac{31}{63} и \displaystyle\frac{29}{57}.
7. Найдите несократимую дробь со знаменателем 12, заключённую между \displaystyle-\frac{2}{3} и \displaystyle-\frac{1}{2}.
8. Выпишите все целые числа x, для которых -2{,}5\lt x\le3.

Ответы

К уроку 7: 1) -12\lt3; 2) -6{,}08\gt-6{,}8; 3) \displaystyle\frac{5}{9}\lt\frac{7}{12}; 4) \displaystyle-\frac{4}{15}\gt-\frac{3}{10}; 5) \displaystyle-2\frac{1}{6}\lt-2{,}15; 6) 0{,}(3)\gt0{,}33.

К уроку 8: 1) \displaystyle-1\frac{2}{3}\lt-1{,}5\lt-0{,}5\lt0{,}25\lt\frac{1}{3}; 2) \displaystyle0{,}4\gt\frac{3}{8}\gt0{,}35\gt-0{,}4\gt-\frac{3}{7}; 3) \displaystyle\frac{8}{17}\lt\frac{11}{20}; 4) \displaystyle\frac{23}{24}\gt\frac{19}{20}; 5) например, 0{,}705; 6) девять чисел: от -5 до 3.

К уроку 9: 1) 1{,}75 — точка D, -2{,}75 — точка A; 2) утверждение 3; 3) \displaystyle-5\frac{1}{2}\lt-4{,}05\lt-3{,}4\lt-2{,}8, холоднее всего во вторник, теплее всего в среду; 4) \displaystyle-0{,}3\lt-\frac{2}{7}\lt-0{,}(2).

Итоговая работа: 1) -0{,}9\lt-0{,}89; 2) \displaystyle\frac{4}{7}\gt\frac{5}{9}; 3) \displaystyle-\frac{5}{6}\lt-0{,}8; 4) |-3{,}2|\gt|2{,}9|; 5) \displaystyle-0{,}2\lt-\frac{1}{6}\lt0\lt\frac{1}{7}\lt0{,}15; 6) \displaystyle\frac{31}{63}\lt\frac{29}{57}; 7) \displaystyle-\frac{7}{12}; 8) -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2;\ 3.

Итоги темы

Сравнение рациональных чисел опирается на координатную прямую: правее — больше, левее — меньше. Положительное число всегда больше отрицательного, а из двух отрицательных больше то, которое ближе к нулю. Дроби сравнивают, приводя к общему знаменателю, перекрёстным умножением или через опорное число, десятичные дроби — поразрядно. Чтобы упорядочить набор чисел, их делят на группы по знаку и приводят к одной форме записи. Эти умения нужны при решении неравенств, работе с числовыми промежутками, функциями и в заданиях ОГЭ.