Буквенные выражения

Содержание

Урок 26. Буквенные выражения
Числовые и буквенные выражения
Значение буквенного выражения
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Запись выражений по условию
Пример 4. Покупка
Пример 5. Формула периметра
Буквы помогают записывать общие утверждения
Пример 6
Пример 7
Задания к уроку 26
Типичные ошибки
Итоговая самостоятельная работа
Базовый уровень
Повышенный уровень
Решение итоговой самостоятельной работы
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задание 7
Задание 8
Задание 9
Задание 10
Ответы
Итоги темы

Тема «Буквенные выражения» изучается в 7 классе на уроке 26. Материал соответствует федеральной рабочей программе основного общего образования (ФРП ООО) и последовательности тем, представленной в конструкторе рабочих программ. На уроке вводится понятие буквенного выражения, разбирается, как находить его значение при заданных значениях букв, как переводить условие задачи с русского языка на язык математики и как с помощью букв записывать общие утверждения о числах. С этого урока начинается раздел «Алгебраические выражения».

Урок 26. Буквенные выражения

Числовые и буквенные выражения

Запись, составленная из чисел, знаков действий и скобок, называется числовым выражением: $3\cdot4-2\cdot(-1{,}5)$ , $\displaystyle\frac{8}{5-3}$ . Результат вычислений — значение числового выражения.

Если в выражении кроме чисел есть буквы, его называют буквенным выражением (или выражением с переменными): $3a-2b$ , $2(a+b)$ , $x^2-5x$ . Буквы обозначают числа, которые могут принимать разные значения, — переменные.

Знак умножения между числом и буквой и между буквами обычно не пишут: $3\cdot a=3a$ , $a\cdot b=ab$ . Между числами знак умножения писать обязательно: $3\cdot4$ , а не 34.

Значение буквенного выражения

Чтобы найти значение буквенного выражения, нужно подставить вместо букв их значения и выполнить действия в правильном порядке: сначала действия в скобках, затем возведение в степень, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Отрицательные числа при подстановке заключают в скобки. Иначе легко ошибиться со знаком: $2\cdot(-1{,}5)$ и $2-1{,}5$ — совсем разные выражения.

Пример 1

Найдите значение выражения $3a-2b$ при $a=4$ , $b=-1{,}5$ .

3\cdot4-2\cdot(-1{,}5)=12+3=15.

Пример 2

Найдите значение выражения $2x^2-5x$ при $x=-3$ .

2\cdot(-3)^2-5\cdot(-3)=2\cdot9+15=18+15=33.

Сначала возводим в квадрат: $(-3)^2=9$ , а затем умножаем на 2.

Пример 3

Найдите значение выражения $\displaystyle\frac{a+b}{a-b}$ при $a=5$ , $b=3$ .

\displaystyle\frac{5+3}{5-3}=\frac{8}{2}=4.

Черта дроби играет роль скобок: сначала находят числитель и знаменатель, потом делят.

Запись выражений по условию

С помощью букв условие задачи можно перевести на язык математики. Важно различать похожие по звучанию фразы.

Пример 4. Покупка

Тетрадь стоит $a$ р., ручка — $b$ р. Сколько стоят 3 тетради и 2 ручки? Найдите стоимость при $a=25$ , $b=40$ .

3 тетради стоят $3a$ р., 2 ручки — $2b$ р., вся покупка — $3a+2b$ р.

При $a=25$ , $b=40$ : $3\cdot25+2\cdot40=75+80=155$ р.

Пример 5. Формула периметра

Периметр прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равен $P=2(a+b)$ . При $a=7$ см, $b=4$ см: $P=2\cdot(7+4)=22$ см.

Формула — это равенство, в котором величина выражена через другие величины с помощью буквенного выражения. Подробно формулы разбираются в следующей теме.

Буквы помогают записывать общие утверждения

Свойства действий верны для любых чисел, поэтому их записывают буквами:

a+b=b+a,\qquad ab=ba,\qquad (a+b)+c=a+(b+c),\qquad a(b+c)=ab+ac.

Буквами удобно записывать и числа определённого вида. Если $n$ — натуральное число, то

$2n$ — любое чётное число, $2n+1$ — нечётное;
$3n$ — число, кратное 3;
$n$ , $n+1$ , $n+2$ — три последовательных натуральных числа.

Двузначное число, у которого $a$ десятков и $b$ единиц, записывают так:

Пример 6

Запишите в виде выражения двузначное число, у которого $a$ десятков и $b$ единиц, и число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найдите их сумму.

Первое число $10a+b$ , второе — $10b+a$ . Их сумма:

10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b).

Например, $47+74=121=11\cdot11$ . Сумма всегда делится на 11.

Пример 7

Докажите, что сумма двух последовательных нечётных чисел делится на 4.

Два последовательных нечётных числа: $2n+1$ и $2n+3$ . Их сумма:

(2n+1)+(2n+3)=4n+4=4(n+1).

Множитель 4 показывает, что сумма делится на 4. Проверка: $7+9=16$ , $11+13=24$ .

Задания к уроку 26

Найдите значение выражения: а) $5x-7$ при $x=-2$ ; б) $a^2-3a$ при $a=4$ ; в) $\displaystyle\frac{m-n}{m+n}$ при $m=7$ , $n=3$ ; г) $0{,}5y+1{,}2$ при $y=-4$ .
Запишите в виде выражения: а) сумму числа $a$ и произведения чисел $b$ и $c$ ; б) разность квадратов чисел $x$ и $y$ ; в) квадрат разности чисел $x$ и $y$ ; г) частное суммы и разности чисел $m$ и $n$ .
Купили $x$ кг яблок по 90 р. и $y$ кг груш по 120 р. Сколько заплатили за покупку? Найдите стоимость при $x=2$ , $y=1{,}5$ .
Поезд шёл $t$ ч со скоростью 70 км/ч и ещё 2 ч со скоростью 80 км/ч. Какое расстояние прошёл поезд?
Запишите: а) число, на 5 большее $a$ ; б) число, в 3 раза меньшее $b$ ; в) 20% от числа $c$ .

Типичные ошибки

Не ставят скобки при подстановке отрицательных чисел. При $x=-3$ выражение $x^2$ равно $(-3)^2=9$ , а запись $-3^2$ означает $-9$ .
Путают разность квадратов и квадрат разности. $x^2-y^2$ и $(x-y)^2$ — разные выражения: при $x=5$ , $y=3$ первое равно 16, второе — 4.
«Склеивают» числа при подстановке. Значение $2a$ при $a=3$ равно $2\cdot3=6$ , а не 23.
Нарушают порядок действий. В выражении $3a^2$ в квадрат возводится только $a$ : при $a=2$ получаем $3\cdot4=12$ , а не $6^2=36$ .
Неверно переводят «меньше в» и «меньше на». Число, на 3 меньшее $b$ , — это $b-3$ , а число, в 3 раза меньшее $b$ , — $\displaystyle\frac{b}{3}$ .

Итоговая самостоятельная работа

Базовый уровень

Найдите значение выражения $4a+3b$ при $a=-2$ , $b=5$ .
Найдите значение выражения $x^2-2x$ при $x=-3$ .
Запишите в виде выражения удвоенное произведение чисел $a$ и $b$ .
Шоколадка стоит 85 р., сок — 60 р. Запишите стоимость $n$ шоколадок и одного сока. Найдите её при $n=4$ .
Найдите значение выражения $\displaystyle\frac{3x-1}{x+2}$ при $x=3$ .

Повышенный уровень

Ширина прямоугольника $a$ см, а длина на 3 см больше. Запишите выражение для периметра и найдите его при $a=5$ .
Докажите, что сумма двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 11.
Сравните значения выражений $(a+b)^2$ и $a^2+b^2$ при $a=3$ , $b=-2$ .
Ученик купил $x$ тетрадей по 24 р. и на 3 больше ручек по 15 р. Составьте выражение для стоимости покупки и найдите её значение при $x=5$ .
При каком значении $a$ значение выражения $3a-4$ равно 11?

Решение итоговой самостоятельной работы

Каждое задание разобрано по шагам: подставляем значения или составляем выражение, вычисляем и проверяем результат.

Задание 1

Найдите значение выражения $4a+3b$ при $a=-2$ , $b=5$ .

Решение. Подставляем значения, отрицательное число берём в скобки:

4\cdot(-2)+3\cdot5=-8+15=7.

Сначала выполняем умножения, затем сложение: $-8+15$ — это сложение чисел с разными знаками, из большего модуля вычитаем меньший и ставим знак числа с большим модулем.

Ответ: 7.

Задание 2

Найдите значение выражения $x^2-2x$ при $x=-3$ .

Решение.

(-3)^2-2\cdot(-3)=9-(-6)=9+6=15.

Квадрат отрицательного числа положителен: $(-3)^2=9$ . Произведение $2\cdot(-3)=-6$ , а вычитание отрицательного числа заменяем сложением противоположного.

Ответ: 15.

Задание 3

Запишите в виде выражения удвоенное произведение чисел $a$ и $b$ .

Решение. Произведение чисел $a$ и $b$ — это $ab$ . «Удвоенное» — значит, умноженное на 2: $2ab$ .

Не путайте с выражением $(2a)\cdot(2b)=4ab$ — здесь удвоено каждое число, а не произведение.

Ответ: $2ab$ .

Задание 4

Шоколадка стоит 85 р., сок — 60 р. Запишите стоимость $n$ шоколадок и одного сока. Найдите её при $n=4$ .

Решение. $n$ шоколадок по 85 р. стоят $85n$ р. Добавляем стоимость сока: $85n+60$ р.

При $n=4$ : $85\cdot4+60=340+60=400$ р.

Ответ: $85n+60$ ; 400 р.

Задание 5

Найдите значение выражения $\displaystyle\frac{3x-1}{x+2}$ при $x=3$ .

Решение. Отдельно находим числитель и знаменатель:

3\cdot3-1=8,\qquad 3+2=5,\qquad \displaystyle\frac{8}{5}=1{,}6.

Ответ: 1,6.

Задание 6

Ширина прямоугольника $a$ см, а длина на 3 см больше. Запишите выражение для периметра и найдите его при $a=5$ .

Решение. «На 3 см больше» означает прибавить 3: длина равна $a+3$ см.

Периметр прямоугольника — удвоенная сумма длины и ширины:

P=2\,(a+(a+3))=2\,(2a+3)=4a+6.

При $a=5$ : $P=4\cdot5+6=26$ см.

Проверка: стороны 5 см и 8 см, $5+8+5+8=26$ см.

Ответ: $P=2(a+(a+3))=4a+6$ ; 26 см.

Задание 7

Докажите, что сумма двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 11.

Решение. Пусть у числа $a$ десятков и $b$ единиц. Тогда само число равно $10a+b$ , а число, записанное в обратном порядке, — $10b+a$ . Их сумма:

(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b).

Сумма представлена в виде произведения, в котором один из множителей равен 11, значит, она делится на 11 при любых цифрах $a$ и $b$ .

Проверка: $23+32=55=11\cdot5$ , $47+74=121=11\cdot11$ .

Задание 8

Сравните значения выражений $(a+b)^2$ и $a^2+b^2$ при $a=3$ , $b=-2$ .

Решение. В первом выражении сначала складываем, потом возводим в квадрат:

(3+(-2))^2=1^2=1.

Во втором сначала возводим в квадрат каждое число, потом складываем:

3^2+(-2)^2=9+4=13.

1\lt13

. Этот пример показывает, что квадрат суммы не равен сумме квадратов.

Ответ: $(a+b)^2\lt a^2+b^2$ (1 меньше 13).

Задание 9

Ученик купил $x$ тетрадей по 24 р. и на 3 больше ручек по 15 р. Составьте выражение для стоимости покупки и найдите её значение при $x=5$ .

Решение. Тетради стоят $24x$ р. Ручек на 3 больше, то есть $x+3$ штук, они стоят $15(x+3)$ р. Вся покупка:

24x+15(x+3).

При $x=5$ : тетради $24\cdot5=120$ р., ручек $5+3=8$ , они стоят $15\cdot8=120$ р. Всего $120+120=240$ р.

Скобки здесь обязательны: $15x+3$ означало бы «ручки на $x$ штук и ещё 3 рубля», а не 3 лишние ручки.

Ответ: $24x+15(x+3)$ ; 240 р.

Задание 10

При каком значении $a$ значение выражения $3a-4$ равно 11?

Решение. Рассуждаем «с конца». Из числа $3a$ вычли 4 и получили 11, значит, $3a=11+4=15$ . Число, которое при умножении на 3 даёт 15, равно $15:3=5$ .

Проверка: $3\cdot5-4=15-4=11$ .

Ответ: $a=5$ .

Ответы

К уроку 26: 1) а) $-17$ ; б) 4; в) 0,4; г) $-0{,}8$ ; 2) а) $a+bc$ ; б) $x^2-y^2$ ; в) $(x-y)^2$ ; г) $\displaystyle\frac{m+n}{m-n}$ ; 3) $90x+120y$ р.; 360 р.; 4) $70t+160$ км; 5) а) $a+5$ ; б) $\displaystyle\frac{b}{3}$ ; в) $0{,}2c$ .

Итоговая работа: 1) 7; 2) 15; 3) $2ab$ ; 4) $85n+60$ , 400 р.; 5) 1,6; 6) $4a+6$ , 26 см; 7) $11(a+b)$ ; 8) 1 и 13, первое меньше; 9) $24x+15(x+3)$ , 240 р.; 10) 5.

Итоги темы

Буквенное выражение содержит числа, буквы, знаки действий и скобки. Чтобы найти его значение, подставляют значения букв (отрицательные — в скобках) и выполняют действия в правильном порядке. С помощью буквенных выражений условие задачи переводят на язык математики, записывают формулы, свойства действий и общие утверждения о числах: чётные числа $2n$ , нечётные $2n+1$ , двузначные $10a+b$ . Важно различать похожие записи: $x^2-y^2$ и $(x-y)^2$ , $b-3$ и $\displaystyle\frac{b}{3}$ . Эти умения — основа всего курса алгебры: формул, преобразований выражений и уравнений.