Признаки делимости, разложения на множители натуральных чисел

Тема «Признаки делимости, разложения на множители натуральных чисел» изучается в 7 классе на уроках 19–20. Материал соответствует федеральной рабочей программе основного общего образования (ФРП ООО) и последовательности тем, представленной в конструкторе рабочих программ. На уроках повторяются и систематизируются признаки делимости, понятия простого и составного числа, разложение натуральных чисел на простые множители, нахождение НОД и НОК. Эти умения нужны для сокращения дробей, приведения их к общему знаменателю, а в дальнейшем — для разложения многочленов на множители.

Урок 19. Делители и кратные. Признаки делимости

Делители и кратные

Натуральное число a делится на натуральное число b, если существует такое натуральное число c, что a=b\cdot c. Тогда b называют делителем числа a, а a — кратным числа b.

Например, 36=4\cdot9, поэтому 4 и 9 — делители числа 36, а 36 кратно 4 и кратно 9. Все делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Кратных у числа бесконечно много: 36, 72, 108, …

Свойства делимости

• Если каждое из слагаемых делится на число m, то и сумма делится на m: 120+48 делится на 12, так как 120 и 48 делятся на 12.
• Если один из множителей делится на m, то и произведение делится на m: 25\cdot37 делится на 5.
• Если a делится на b, а b делится на c, то a делится на c.

Признаки делимости

Проверять делимость, не выполняя деления, позволяют признаки делимости.

На 2 — последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8).
На 5 — последняя цифра 0 или 5.
На 10 — последняя цифра 0.
На 4 — число, составленное из двух последних цифр, делится на 4.
На 25 — две последние цифры образуют 00, 25, 50 или 75.
На 3 — сумма цифр делится на 3.
На 9 — сумма цифр делится на 9.

Пример 1

Делится ли число 4 725 на 3, на 9, на 5, на 25, на 2?

Сумма цифр: 4+7+2+5=18. Так как 18 делится и на 3, и на 9, число делится на 3 и на 9. Оно оканчивается на 25, поэтому делится на 5 и на 25. Последняя цифра нечётная, значит, на 2 число не делится.

Пример 2

Делится ли число 7 316 на 4?

Две последние цифры образуют число 16, а 16=4\cdot4. Значит, 7 316 делится на 4: 7\,316:4=1\,829.

Признаки делимости на составные числа

Если число делится на каждое из двух взаимно простых чисел (у них нет общих делителей, кроме 1), то оно делится и на их произведение. Поэтому:

Например, 1 236 — чётное число с суммой цифр 1+2+3+6=12, которая делится на 3. Значит, 1 236 делится на 6.

Числа должны быть взаимно простыми. Число 18 делится на 2 и на 6, но на 2\cdot6=12 не делится, потому что 2 и 6 имеют общий делитель 2.

Пример 3. Подбор цифры

Какую цифру нужно поставить вместо звёздочки, чтобы число 52{*}4 делилось на 9? А на 6?

Сумма известных цифр: 5+2+4=11. Чтобы сумма делилась на 9, нужно 11+{*}=18, то есть {*}=7: число 5 274.

Число чётное при любой цифре, поэтому для делимости на 6 достаточно делимости на 3: 11+{*} должно делиться на 3, значит, {*}=1,\ 4 или 7.

Ответ: на 9 — цифра 7; на 6 — цифры 1, 4, 7.

Пример 4. Задача из практики

На склад привезли 1 236 карандашей. Можно ли разложить их поровну в 3 коробки, не вскрывая упаковок по одному карандашу?

Сумма цифр 1+2+3+6=12 делится на 3, поэтому можно: в каждой коробке будет 1\,236:3=412 карандашей.

Задания к уроку 19

1. Из чисел 135, 240, 418, 702, 1 125, 3 006 выпишите те, которые делятся: а) на 2; б) на 3; в) на 5; г) на 9.
2. Делится ли число 7 524 на 4? на 9? на 6?
3. Какую цифру нужно поставить вместо звёздочки, чтобы число 3{*}5 делилось на 9?
4. Не выполняя деления, докажите, что число 111 111 делится на 3.
5. Найдите наименьшее четырёхзначное число, которое делится и на 5, и на 9.

Урок 20. Простые и составные числа. Разложение на простые множители

Простые и составные числа

Натуральное число называется простым, если оно имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Число, имеющее больше двух делителей, называется составным. Число 1 не является ни простым, ни составным.

Простые числа, меньшие 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Число 2 — единственное чётное простое число.

Чтобы проверить, простое ли число, достаточно проверить его делимость на простые числа, квадрат которых не превосходит этого числа. Например, для 91 проверяем 2, 3, 5, 7 (так как 11^2=121\gt91): 91=7\cdot13 — составное. Для 97 ни одно из чисел 2, 3, 5, 7 не подходит, поэтому 97 — простое.

Разложение на простые множители

Любое составное натуральное число можно представить в виде произведения простых множителей, и притом единственным способом (если не учитывать порядок множителей).

Удобно делить число последовательно на простые числа, начиная с наименьшего, — получается «дерево» разложения.

Пример 5

Разложите на простые множители число 360.

Одинаковые множители записывают в виде степени: 360=2^3\cdot3^2\cdot5.

Так же раскладывают число 84, деля его последовательно на простые числа:

поэтому 84=2^2\cdot3\cdot7.

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

С помощью разложения на простые множители находят НОД и НОК нескольких чисел.

НОД — произведение общих простых множителей, взятых с наименьшими показателями степеней.
НОК — произведение всех простых множителей, входящих хотя бы в одно из разложений, взятых с наибольшими показателями степеней.

Пример 6

Найдите НОД и НОК чисел 84 и 90.

Проверка: произведение двух чисел равно произведению их НОД и НОК: 84\cdot90=7560=6\cdot1260.

Пример 7. Сокращение дроби

Сократите дробь \displaystyle\frac{84}{90}.

Делим числитель и знаменатель на их НОД, равный 6:

НОК, в свою очередь, служит наименьшим общим знаменателем: \displaystyle\frac{1}{84}+\frac{1}{90}=\frac{15}{1260}+\frac{14}{1260}=\frac{29}{1260}.

Пример 8. Задача на НОД

Из 48 яблок и 36 груш нужно составить одинаковые подарочные наборы, использовав все фрукты. Какое наибольшее число наборов можно составить?

Число наборов должно быть делителем и 48, и 36, причём наибольшим: 48=2^4\cdot3, 36=2^2\cdot3^2, \text{НОД}=2^2\cdot3=12.

Ответ: 12 наборов, в каждом 4 яблока и 3 груши.

Пример 9. Задача на НОК

От остановки в 8:00 одновременно отправились два автобуса. Первый возвращается на остановку каждые 12 минут, второй — каждые 18 минут. Когда они снова встретятся на этой остановке?

Нужно наименьшее число, кратное и 12, и 18: 12=2^2\cdot3, 18=2\cdot3^2, \text{НОК}=2^2\cdot3^2=36.

Ответ: через 36 минут, в 8:36.

Задания к уроку 20

1. Какие из чисел 51, 53, 87, 91, 97 простые, а какие составные?
2. Разложите на простые множители: 72; 150; 588; 1 001.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 24 и 36; б) 45 и 60; в) 16 и 35.
4. Сократите дробь \displaystyle\frac{126}{210}.
5. Две ленты длиной 60 см и 84 см нужно разрезать на куски одинаковой длины без остатка. Какой наибольшей длины могут быть куски? Сколько всего получится кусков?

Типичные ошибки

1. Считают число 1 простым. У единицы только один делитель, поэтому она не простое и не составное число.
2. Проверяют делимость на 4 по последней цифре. Число 34 оканчивается на 4, но на 4 не делится. Смотреть нужно на число из двух последних цифр.
3. Путают признаки делимости на 3 и на 9. Если сумма цифр делится на 3, число делится на 3, но не обязательно на 9: у числа 12 сумма цифр 3.
4. Переносят признак делимости на произведение невзаимно простых чисел. Число 18 делится на 2 и на 6, но не делится на 12.
5. Не доводят разложение до конца. Запись 84=4\cdot21 — не разложение на простые множители: 4 и 21 — составные числа. Верно: 84=2^2\cdot3\cdot7.
6. Путают НОД и НОК. НОД не больше меньшего из чисел, НОК не меньше большего из чисел. Если ответ этому противоречит, в решении ошибка.

Итоговая самостоятельная работа

Базовый уровень

1. Какие из чисел 2 340, 5 115, 4 806 делятся на 9?
2. Разложите на простые множители число 252.
3. Найдите НОД чисел 56 и 98.
4. Найдите НОК чисел 15 и 20.
5. Сократите дробь \displaystyle\frac{45}{75}.

Повышенный уровень

6. Найдите все цифры, которые можно поставить вместо звёздочки, чтобы число 4{*}72 делилось на 6.
7. Найдите наименьшее натуральное число, большее 1, которое при делении на 4, на 6 и на 10 даёт остаток 1.
8. Есть 120 тетрадей и 96 ручек. Их нужно раздать поровну наибольшему числу учеников так, чтобы ничего не осталось. Сколько учеников получат подарки и сколько тетрадей и ручек достанется каждому?
9. Докажите, что сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на 3.
10. Найдите все четырёхзначные числа вида 3{*}4{*} (звёздочки — пропущенные цифры), которые делятся на 45.

Ответы

К уроку 19: 1) а) 240, 418, 702, 3 006; б) 135, 240, 702, 1 125, 3 006; в) 135, 240, 1 125; г) 135, 702, 1 125, 3 006; 2) делится на 4, на 9 и на 6; 3) 1 (число 315); 4) сумма цифр равна 6 и делится на 3; 5) 1 035.

К уроку 20: 1) простые — 53, 97; составные — 51=3\cdot17, 87=3\cdot29, 91=7\cdot13; 2) 72=2^3\cdot3^2, 150=2\cdot3\cdot5^2, 588=2^2\cdot3\cdot7^2, 1001=7\cdot11\cdot13; 3) а) 12 и 72; б) 15 и 180; в) 1 и 560; 4) \displaystyle\frac{3}{5}; 5) 12 см, 12 кусков.

Итоговая работа: 1) 2 340 и 4 806; 2) 2^2\cdot3^2\cdot7; 3) 14; 4) 60; 5) \displaystyle\frac{3}{5}; 6) 2, 5, 8; 7) 61; 8) 24 ученика, по 5 тетрадей и 4 ручки; 9) n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1); 10) 3 240 и 3 645.

Итоги темы

Признаки делимости позволяют узнать, делится ли число на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 или 25, не выполняя деления: на 2, 5 и 10 смотрят на последнюю цифру, на 4 и 25 — на две последние, на 3 и 9 — на сумму цифр. Каждое составное число единственным образом раскладывается на простые множители, например 360=2^3\cdot3^2\cdot5. По разложениям находят НОД (общие множители с наименьшими степенями) и НОК (все множители с наибольшими степенями). НОД нужен для сокращения дробей и задач о делении на равные части, НОК — для приведения дробей к общему знаменателю и задач о совпадении периодов. Умение раскладывать на множители понадобится при изучении многочленов и алгебраических дробей.