Понятие рационального числа

Содержание

Что называют рациональным числом
Примеры рациональных чисел
Какие числа входят в множество рациональных чисел
Знак рационального числа
Основное свойство дроби и равные рациональные числа
Пример 1. Проверка равенства дробей
Несократимая запись рационального числа
Пример 2. Сокращение дроби
Рациональные числа и десятичные дроби
Когда дробь превращается в конечную десятичную
Пример 3. Конечная десятичная запись
Пример 4. Периодическая десятичная запись
Как перевести конечную десятичную дробь в обыкновенную
Пример 5
Как перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную
Пример 6. Чистая периодическая дробь
Пример 7. Смешанная периодическая дробь
Рациональные числа на координатной прямой
Пример 8. Координата точки
Между двумя рациональными числами есть другие рациональные числа
Пример 9
Какие числа не являются рациональными
Подробно разобранные задания
Задание 1. Распознавание рациональных чисел
Задание 2. Разные записи одного числа
Задание 3. Параметр в дроби
Задание 4. Допустимые значения
Типичные ошибки
Задания для самостоятельной работы
Ответы к самостоятельной работе
Итоги урока

Тема «Понятие рационального числа» изучается в 7 классе на уроке 1 «Понятие рационального числа». Материал соответствует федеральной рабочей программе основного общего образования (ФРП ООО РФ) и последовательности тем, представленной в конструкторе рабочих программ. Цель урока — систематизировать сведения о положительных и отрицательных числах, ввести строгое определение рационального числа, установить связь между обыкновенными и десятичными дробями и научиться распознавать различные формы записи одного и того же числа.

Что называют рациональным числом

Рациональным называют число, которое можно представить в виде отношения двух целых чисел:

q=\frac{m}{n},\qquad m\in\mathbb Z,\quad n\in\mathbb Z,\quad n\ne 0.

Буква $m$ обозначает числитель, а $n$ — знаменатель. Требование $n\ne0$ обязательно, поскольку деление на нуль не определено. Множество всех рациональных чисел обозначают буквой $\mathbb Q$ . Термин происходит от латинского слова ratio — «отношение».

Определение. Число является рациональным, если его можно записать в виде дроби $\frac{m}{n}$ , где $m$ — целое число, $n$ — целое число, не равное нулю.

Примеры рациональных чисел

$\frac{3}{7}$ — отношение целых чисел 3 и 7;
$-\frac{5}{8}=\frac{-5}{8}=\frac{5}{-8}$ ;
$11=\frac{11}{1}$ , поэтому любое целое число рационально;
$0=\frac{0}{4}$ , поэтому нуль является рациональным числом;
$2{,}75=\frac{275}{100}=\frac{11}{4}$ ;
$0{,}(3)=0{,}333\ldots=\frac13$ .

Запись $0{,}(3)$ означает бесконечную периодическую десятичную дробь. Цифра 3 повторяется неограниченно, поэтому её заключают в скобки.

Какие числа входят в множество рациональных чисел

К рациональным относятся натуральные числа, нуль, отрицательные целые числа, обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.

\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q.

Эта запись читается так: множество натуральных чисел является частью множества целых чисел, а множество целых чисел является частью множества рациональных чисел.

Вид числа	Пример	Представление в виде $\frac{m}{n}$
Натуральное	$8$	$\frac81$
Целое отрицательное	$-6$	$\frac{-6}{1}$
Нуль	$0$	$\frac05$
Обыкновенная дробь	$-\frac49$	Уже записана как отношение целых чисел
Конечная десятичная дробь	$1{,}28$	$\frac{128}{100}=\frac{32}{25}$
Периодическая десятичная дробь	$0{,}(6)$	$\frac23$

Знак рационального числа

Рациональное число $\frac{m}{n}$ положительно, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, и отрицательно, если их знаки различны:

\frac{-m}{-n}=\frac{m}{n},\qquad \frac{-m}{n}=\frac{m}{-n}=-\frac{m}{n}.

Обычно знак минус записывают перед дробной чертой: $-\frac57$ . Такая форма легче читается и удобнее при вычислениях.

Нуль не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

\frac0n=0,\qquad n\ne0.

Основное свойство дроби и равные рациональные числа

Одно рациональное число может иметь бесконечно много дробных записей. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится:

\frac{m}{n}=\frac{m\cdot k}{n\cdot k},\qquad k\ne0.

Например:

\frac23=\frac46=\frac{10}{15}=\frac{-2}{-3}.

Равенство двух дробей можно проверить перекрёстным умножением:

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc,\qquad b\ne0,\ d\ne0.

Пример 1. Проверка равенства дробей

Определить, равны ли числа $\frac{-14}{21}$ и $\frac{-10}{15}$ .

Решение. Выполним перекрёстное умножение:

(-14)\cdot15=-210,\qquad 21\cdot(-10)=-210.

Произведения равны, следовательно, дроби задают одно рациональное число. Обе дроби после сокращения равны $-\frac23$ .

Несократимая запись рационального числа

Дробь называют несократимой, если числитель и знаменатель не имеют общих натуральных делителей, кроме 1. Чтобы получить несократимую дробь, числитель и знаменатель делят на их наибольший общий делитель.

Пример 2. Сокращение дроби

Представить число $\frac{-84}{126}$ несократимой дробью.

Решение. Наибольший общий делитель чисел 84 и 126 равен 42:

\frac{-84}{126}=\frac{-84:42}{126:42}=-\frac23.

Ответ: $-\frac23$ .

Рациональные числа и десятичные дроби

Любое рациональное число можно представить десятичной дробью. При делении числителя на знаменатель получается либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.

Когда дробь превращается в конечную десятичную

Несократимая дробь $\frac{m}{n}$ имеет конечную десятичную запись тогда и только тогда, когда разложение положительного знаменателя на простые множители содержит только числа 2 и 5:

n=2^a\cdot5^b,\qquad a,b\ge0.

Это связано с тем, что разрядные единицы десятичной системы имеют знаменатели $10^k=2^k\cdot5^k$ .

Пример 3. Конечная десятичная запись

\frac7{40}=\frac7{2^3\cdot5}.

Знаменатель содержит только множители 2 и 5, поэтому десятичная дробь конечна:

\frac7{40}=\frac{175}{1000}=0{,}175.

Пример 4. Периодическая десятичная запись

В несократимой дроби $\frac5{12}$ знаменатель $12=2^2\cdot3$ содержит множитель 3. Поэтому конечной десятичной записи нет:

\frac5{12}=0{,}41666\ldots=0{,}41(6).

Как перевести конечную десятичную дробь в обыкновенную

Десятичную дробь записывают в виде дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее, затем сокращают.

Пример 5

-1{,}375=-\frac{1375}{1000}=-\frac{11}{8}.

В знаменателе записаны три нуля, поскольку после запятой три цифры.

Как перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную

Периодическую дробь можно преобразовать алгебраическим способом.

Пример 6. Чистая периодическая дробь

Пусть $x=0{,}(27)=0{,}272727\ldots$ . Умножим равенство на 100, потому что период состоит из двух цифр:

100x=27{,}272727\ldots

Вычтем первое равенство из второго:

100x-x=27,\qquad 99x=27,\qquad x=\frac{27}{99}=\frac3{11}.

Пример 7. Смешанная периодическая дробь

Представить дробью число $0{,}1(6)=0{,}1666\ldots$ .

Пусть $x=0{,}1666\ldots$ . Сначала переносим за запятую непериодическую цифру, затем — одну цифру периода:

10x=1{,}666\ldots,\qquad 100x=16{,}666\ldots

Вычитаем:

100x-10x=15,\qquad 90x=15,\qquad x=\frac{15}{90}=\frac16.

Рациональные числа на координатной прямой

Каждому рациональному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Положительные числа расположены справа от нуля, отрицательные — слева. Числа $q$ и $-q$ изображаются на одинаковом расстоянии от начала отсчёта и называются противоположными.

Модуль рационального числа равен расстоянию от соответствующей точки до нуля:

|q|=\begin{cases}q,&q\ge0,\\-q,&q\lt0.\end{cases}

Например, $\left|-\frac74\right|=\frac74$ , $|0|=0$ . Противоположные числа имеют равные модули.

Пример 8. Координата точки

Точка расположена на $2\frac13$ единицы левее нуля. Её координата равна $-2\frac13=-\frac73$ .

Между двумя рациональными числами есть другие рациональные числа

Множество рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Одно из них легко получить как среднее арифметическое:

a\lt b\quad\Longrightarrow\quad a\lt\frac{a+b}{2}\lt b.

Пример 9

Найти рациональное число между $\frac25$ и $\frac12$ .

\frac{\frac25+\frac12}{2}=\frac{\frac4{10}+\frac5{10}}2=\frac9{20}.

Действительно, $\frac25\lt\frac9{20}\lt\frac12$ .

Какие числа не являются рациональными

Не всякое число можно представить отношением целых чисел. Бесконечные непериодические десятичные дроби называются иррациональными. Например, числа $\sqrt2$ и $\pi$ не являются рациональными. В 7 классе важно различать признак рациональной десятичной записи: она обязательно конечна или периодична.

Конечная или бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Бесконечная непериодическая десятичная дробь рациональным числом не является.

Подробно разобранные задания

Задание 1. Распознавание рациональных чисел

Из чисел $7;\ -\frac{11}{13};\ 0{,}45;\ 0{,}(12);\ \sqrt7;\ \pi$ выбрать рациональные.

Решение. Число 7 целое, значит, $7=\frac71$ . Обыкновенная дробь $-\frac{11}{13}$ рациональна по определению. Конечная десятичная дробь $0{,}45=\frac9{20}$ . Периодическая дробь $0{,}(12)=\frac{12}{99}=\frac4{33}$ . Числа $\sqrt7$ и $\pi$ имеют бесконечные непериодические десятичные записи.

Ответ: $7;\ -\frac{11}{13};\ 0{,}45;\ 0{,}(12)$ .

Задание 2. Разные записи одного числа

Записать число $-0{,}625$ в виде несократимой обыкновенной дроби и смешанного числа.

-0{,}625=-\frac{625}{1000}=-\frac58.

Число по модулю меньше единицы, поэтому смешанная запись не требуется: целая часть равна нулю.

Задание 3. Параметр в дроби

При каком целом $x$ дробь $\frac{x-4}{7}$ равна нулю?

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю:

x-4=0,\qquad x=4.

Знаменатель равен 7 и не обращается в нуль. Ответ: 4.

Задание 4. Допустимые значения

При каких целых $x$ запись $\frac{5}{x-3}$ имеет смысл?

Знаменатель не должен равняться нулю:

x-3\ne0,\qquad x\ne3.

Ответ: при всех целых $x$ , кроме 3.

Типичные ошибки

Знаменатель принимают равным нулю. Запись $\frac50$ не задаёт число.
Рациональными считают только дроби. Целые числа тоже рациональны: $k=\frac{k}{1}$ .
Путают периодическую и непериодическую запись. Наличие бесконечного числа цифр ещё не означает иррациональность; решающее значение имеет периодичность.
Сокращают слагаемые. В дроби $\frac{a+b}{a}$ нельзя «сократить $a$ », поскольку сокращают общие множители, а не отдельные слагаемые.
Теряют знак. Записи $\frac{-a}{b}$ и $-\frac ab$ равны, а $\frac{-a}{-b}=\frac ab$ .

Задания для самостоятельной работы

Представить в виде дроби со знаменателем 1 числа $-9$ , $0$ , $24$ .
Сократить дроби: $\frac{18}{30}$ , $\frac{-42}{56}$ , $\frac{-72}{-90}$ .
Перевести в обыкновенные дроби: $0{,}7$ , $-1{,}24$ , $2{,}375$ .
Указать, какие дроби имеют конечную десятичную запись: $\frac7{16}$ , $\frac5{18}$ , $\frac{11}{25}$ , $\frac{13}{30}$ .
Записать в виде обыкновенной дроби: $0{,}(5)$ , $0{,}(18)$ , $0{,}2(7)$ .
Проверить равенства: $\frac{12}{18}=\frac{18}{27}$ ; $\frac{-8}{14}=\frac{-12}{21}$ .
Найти два рациональных числа между $\frac13$ и $\frac12$ .
При каком целом $a$ дробь $\frac{2a-10}{9}$ равна нулю?
При каких значениях $x$ не имеет смысла запись $\frac{x+1}{x-6}$ ?
Расположить по группам — натуральные, целые, рациональные нецелые, иррациональные: $-4;\ 0;\ \frac79;\ 12;\ 0{,}(4);\ \sqrt3;\ \pi$ .

Ответы к самостоятельной работе

$-\frac91;\ \frac01;\ \frac{24}{1}$ .
$\frac35;\ -\frac34;\ \frac45$ .
$\frac7{10};\ -\frac{31}{25};\ \frac{19}{8}$ .
Конечная запись у $\frac7{16}$ и $\frac{11}{25}$ .
$\frac59;\ \frac2{11};\ \frac5{18}$ .
Оба равенства верны.
Например, $\frac38$ и $\frac5{12}$ .
$a=5$ .
При $x=6$ .
Натуральные: 12; целые: $-4,0,12$ ; рациональные нецелые: $\frac79,0{,}(4)$ ; иррациональные: $\sqrt3,\pi$ .

Итоги урока

Рациональное число — это число, представимое отношением двух целых чисел при ненулевом знаменателе. Одно и то же рациональное число имеет множество равных дробных записей. Его десятичная запись конечна или периодична. Понятие рационального числа объединяет натуральные, целые и дробные числа и служит основой для дальнейшего изучения арифметических действий, числовых выражений, уравнений и функций.