Степень с натуральным показателем

Содержание

Урок 10. Понятие степени с натуральным показателем
Определение
Пример 1. Вычисление степеней
Степень отрицательного числа
Задания к уроку 10
Урок 11. Вычисления со степенями
Порядок действий
Пример 2. Роль скобок
Пример 3
Пример 4
Пример 5. Степени дробей в выражении
Пример 6. Значение выражения с переменной
Задания к уроку 11
Урок 12. Умножение и деление степеней
Умножение степеней с одинаковыми основаниями
Деление степеней с одинаковыми основаниями
Степень с нулевым показателем
Пример 7
Пример 8
Пример 9. Несколько действий
Пример 10. Буквенные показатели
Задания к уроку 12
Урок 13. Степень степени, произведения и дроби
Возведение степени в степень
Возведение в степень произведения
Возведение в степень дроби
Пример 11
Пример 12. Одночлен в степени
Пример 13. Дробь в степени
Задания к уроку 13
Урок 14. Применение свойств степени
Рациональные вычисления
Пример 14
Пример 15
Пример 16. Приведение к одному основанию
Пример 17. Упрощение выражения
Пример 18. Сравнение степеней
Пример 19. Последняя цифра степени
Задания к уроку 14
Типичные ошибки
Итоговая самостоятельная работа
Базовый уровень
Повышенный уровень
Ответы
Итоги темы

Тема «Степень с натуральным показателем» изучается в 7 классе на уроках 10–14. Материал соответствует федеральной рабочей программе основного общего образования (ФРП ООО) и последовательности тем, представленной в конструкторе рабочих программ. На уроках вводится понятие степени, отрабатываются вычисление степеней и порядок действий в выражениях, изучаются свойства степеней и их применение для упрощения выражений и рациональных вычислений.

Урок 10. Понятие степени с натуральным показателем

Определение

Произведение нескольких одинаковых множителей удобно записывать короче. Например, вместо $3\cdot3\cdot3\cdot3$ пишут $3^4$ .

Определение. Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ , где $n\gt1$ , называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$ . Степенью числа $a$ с показателем 1 называется само число $a$ : $a^1=a$ .

В записи $a^n$ число $a$ называют основанием степени, число $n$ — показателем степени. Запись $a^n$ читают « $a$ в степени $n$ » или « $n$ -я степень числа $a$ ». Вторую степень называют также квадратом числа, третью — кубом. Действие нахождения степени называют возведением в степень.

Пример 1. Вычисление степеней

2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32,\qquad 10^3=1000,\qquad 0{,}2^3=0{,}2\cdot0{,}2\cdot0{,}2=0{,}008.

Степень дроби вычисляют, перемножая дроби:

\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{27}.

Смешанное число сначала переводят в неправильную дробь:

\displaystyle\left(-1\frac{1}{2}\right)^2=\left(-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}.

Степень отрицательного числа

Знак степени отрицательного числа зависит от чётности показателя. Произведение чётного числа отрицательных множителей положительно, нечётного — отрицательно.

степень отрицательного числа с чётным показателем — число положительное: $(-3)^4=81$ ;
степень отрицательного числа с нечётным показателем — число отрицательное: $(-2)^5=-32$ ;
любая степень положительного числа положительна, любая степень нуля равна нулю: $0^7=0$ .

Отсюда, например, $(-1)^{100}=1$ , а $(-1)^{99}=-1$ .

Записи $(-3)^4$ и $-3^4$ означают разное. В первой в степень возводится число $-3$ : $(-3)^4=81$ . Во второй в степень возводится только 3, а минус ставится перед результатом: $-3^4=-81$ .

Задания к уроку 10

Вычислите:

$3^4$ ;
$(-5)^3$ ;
$-2^6$ ;
$(-0{,}3)^2$ ;
$\displaystyle\left(\frac{3}{4}\right)^3$ ;
$\displaystyle\left(-1\frac{1}{3}\right)^2$ ;
$(-1)^{2027}$ .

Урок 11. Вычисления со степенями

Порядок действий

Возведение в степень выполняется раньше умножения и деления, а умножение и деление — раньше сложения и вычитания. Действия в скобках выполняются первыми.

действия в скобках;
возведение в степень;
умножение и деление слева направо;
сложение и вычитание слева направо.

Пример 2. Роль скобок

2\cdot3^2=2\cdot9=18,\qquad (2\cdot3)^2=6^2=36.

В первом выражении в квадрат возводится только 3, во втором — всё произведение.

Пример 3

Вычислить $5^2-3\cdot2^3+(-1)^3$ .

Сначала степени: $5^2=25$ , $2^3=8$ , $(-1)^3=-1$ . Затем умножение и сложение:

25-3\cdot8-1=25-24-1=0.

Пример 4

Вычислить $(-2)^3\cdot(-3)^2:6^2$ .

(-8)\cdot9:36=-72:36=-2.

Пример 5. Степени дробей в выражении

\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot16-(-2)^4\cdot0{,}25=\frac{1}{4}\cdot16-16\cdot0{,}25=4-4=0.

Пример 6. Значение выражения с переменной

Найти значение выражения $3x^2-x^3$ при $x=-2$ .

Подставляем значение в скобках, чтобы не потерять знак:

3\cdot(-2)^2-(-2)^3=3\cdot4-(-8)=12+8=20.

Задания к уроку 11

$4\cdot2^3-3^3$ ;
$(-3)^2+(-2)^3$ ;
$10^3-10^2\cdot9$ ;
$0{,}5^2\cdot8$ ;
найдите значение $a^3-2a^2$ при $a=-1$ ;
найдите значение $2x^2+x$ при $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ .

Урок 12. Умножение и деление степеней

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим произведение $a^3\cdot a^2$ :

a^3\cdot a^2=(a\cdot a\cdot a)\cdot(a\cdot a)=a^5.

В общем случае для любого числа $a$ и натуральных $m$ и $n$ :

a^m\cdot a^n=a^{m+n}.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Если $a\ne0$ и $m\gt n$ , то

a^m:a^n=a^{m-n}.

Действительно, $a^{m-n}\cdot a^n=a^m$ , значит, $a^{m-n}$ — частное от деления $a^m$ на $a^n$ .

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя.

Степень с нулевым показателем

Чтобы правило деления выполнялось и при $m=n$ , принимают

a^0=1,\qquad a\ne0.

Например, $7^0=1$ , $(-5)^0=1$ . Выражение $0^0$ не определено.

Пример 7

x^5\cdot x^3=x^8,\qquad a\cdot a^4\cdot a^2=a^{1+4+2}=a^7,\qquad 2^7\cdot2^3=2^{10}=1024.

Пример 8

y^9:y^4=y^5,\qquad 3^8:3^6=3^2=9.

Пример 9. Несколько действий

7^{12}\cdot7^3:7^{13}=7^{15}:7^{13}=7^2=49.

Вычислять $7^{12}$ не нужно: свойства степеней позволяют сразу получить ответ.

Пример 10. Буквенные показатели

b^{n+2}\cdot b^n=b^{2n+2}.

Задания к уроку 12

Представьте в виде степени или вычислите:

$a^4\cdot a^6$ ;
$c\cdot c^7$ ;
$x^{12}:x^5$ ;
$5^9:5^7$ ;
$2^4\cdot2^5:2^6$ ;
$(-3)^5\cdot(-3)^2:(-3)^6$ ;
$11^0+0{,}5^0$ .

Урок 13. Степень степени, произведения и дроби

Возведение степени в степень

(a^3)^2=a^3\cdot a^3=a^6.

В общем виде:

(a^m)^n=a^{mn}.

При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

Возведение в степень произведения

(ab)^3=ab\cdot ab\cdot ab=(a\cdot a\cdot a)(b\cdot b\cdot b)=a^3b^3.

В общем виде:

(ab)^n=a^nb^n.

Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Возведение в степень дроби

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\qquad b\ne0.

Пример 11

(x^3)^4=x^{12},\qquad (2^2)^3=2^6=64.

Пример 12. Одночлен в степени

(3a)^3=3^3a^3=27a^3.

(-2x^2y)^3=(-2)^3\cdot(x^2)^3\cdot y^3=-8x^6y^3.

Знак результата определяется так же, как для степени отрицательного числа: нечётный показатель сохраняет минус.

Пример 13. Дробь в степени

\displaystyle\left(\frac{a}{2}\right)^4=\frac{a^4}{16},\qquad\left(-\frac{2}{3}b^2\right)^2=\frac{4}{9}b^4.

Все свойства степеней удобно держать перед глазами:

Задания к уроку 13

$(a^5)^2$ ;
$(-x^3)^2$ ;
$(2b)^5$ ;
$(-3x^2)^3$ ;
$(xy^3)^4$ ;
$\displaystyle\left(\frac{c}{3}\right)^2$ .

Урок 14. Применение свойств степени

Рациональные вычисления

Свойства степеней, прочитанные справа налево, помогают вычислять без громоздких умножений: $a^nb^n=(ab)^n$ .

Пример 14

2^{10}\cdot5^{10}=(2\cdot5)^{10}=10^{10}.

Пример 15

0{,}25^7\cdot4^8=0{,}25^7\cdot4^7\cdot4=(0{,}25\cdot4)^7\cdot4=1^7\cdot4=4.

Пример 16. Приведение к одному основанию

Вычислить $\displaystyle\frac{9^5\cdot3^4}{27^4}$ .

Запишем все числа как степени тройки: $9=3^2$ , $27=3^3$ .

\displaystyle\frac{(3^2)^5\cdot3^4}{(3^3)^4}=\frac{3^{10}\cdot3^4}{3^{12}}=\frac{3^{14}}{3^{12}}=3^2=9.

Пример 17. Упрощение выражения

\displaystyle\frac{(x^3)^4\cdot x^2}{x^{10}}=\frac{x^{12}\cdot x^2}{x^{10}}=\frac{x^{14}}{x^{10}}=x^4.

Пример 18. Сравнение степеней

Сравнить $2^{30}$ и $3^{20}$ .

Приведём степени к одинаковому показателю 10:

2^{30}=(2^3)^{10}=8^{10},\qquad 3^{20}=(3^2)^{10}=9^{10}.

Так как $8\lt9$ , то $8^{10}\lt9^{10}$ , то есть $2^{30}\lt3^{20}$ .

Пример 19. Последняя цифра степени

Какой цифрой оканчивается число $7^{2027}$ ?

Последние цифры степеней семёрки повторяются с периодом 4: $7^1$ оканчивается на 7, $7^2=49$ — на 9, $7^3=343$ — на 3, $7^4=2401$ — на 1, затем снова 7, 9, 3, 1. Число 2027 при делении на 4 даёт остаток 3, поэтому $7^{2027}$ оканчивается так же, как $7^3$ .

Ответ: 3.

Задания к уроку 14

$4^6\cdot25^6$ ;
$\displaystyle\left(\frac{1}{3}\right)^9\cdot3^{10}$ ;
$\displaystyle\frac{8^4\cdot2^5}{4^8}$ ;
упростите: $(a^2)^5\cdot a^3:a^9$ ;
сравните $5^{20}$ и $3^{30}$ ;
$\displaystyle\frac{125^3}{25^4}$ .

Типичные ошибки

Умножают основание на показатель. $2^5=32$ , а не $2\cdot5=10$ .
Путают $(-a)^n$ и $-a^n$ . $(-2)^4=16$ , но $-2^4=-16$ .
Перемножают показатели при умножении степеней. $a^3\cdot a^4=a^7$ , а не $a^{12}$ . Показатели перемножают только при возведении степени в степень.
Применяют свойства к степеням с разными основаниями. Выражение $2^3\cdot3^2$ нельзя записать как $6^5$ ; оно равно $8\cdot9=72$ .
Возводят в степень только один множитель. $(3x)^2=9x^2$ , а не $3x^2$ .
Считают, что $a^0=0$ . При $a\ne0$ степень с нулевым показателем равна 1.
Подставляют отрицательное число без скобок. При $x=-3$ выражение $x^2$ равно $(-3)^2=9$ , а не $-9$ .

Итоговая самостоятельная работа

Базовый уровень

Вычислите: $(-2)^4-2^4$ .
Представьте в виде степени: $a^7\cdot a^2$ .
Представьте в виде степени: $b^{10}:b^4$ .
Упростите: $(x^4)^3$ .
Упростите: $(-2y^3)^2$ .

Повышенный уровень

Вычислите: $0{,}2^5\cdot5^6$ .
Вычислите: $\displaystyle\frac{16^3\cdot2^5}{8^5}$ .
Вычислите: $(-0{,}5)^3\cdot(-2)^3$ .
Найдите значение $2x^3-x^2$ при $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$ .
Сравните $2^{100}$ и $10^{30}$ .

Ответы

К уроку 10: 1) 81; 2) $-125$ ; 3) $-64$ ; 4) $0{,}09$ ; 5) $\displaystyle\frac{27}{64}$ ; 6) $\displaystyle\frac{16}{9}=1\frac{7}{9}$ ; 7) $-1$ .

К уроку 11: 1) 5; 2) 1; 3) 100; 4) 2; 5) $-3$ ; 6) 1.

К уроку 12: 1) $a^{10}$ ; 2) $c^8$ ; 3) $x^7$ ; 4) 25; 5) 8; 6) $-3$ ; 7) 2.

К уроку 13: 1) $a^{10}$ ; 2) $x^6$ ; 3) $32b^5$ ; 4) $-27x^6$ ; 5) $x^4y^{12}$ ; 6) $\displaystyle\frac{c^2}{9}$ .

К уроку 14: 1) $100^6=10^{12}$ ; 2) 3; 3) 2; 4) $a^4$ ; 5) $5^{20}\lt3^{30}$ , так как $5^{20}=25^{10}$ , $3^{30}=27^{10}$ ; 6) 5.

Итоговая работа: 1) 0; 2) $a^9$ ; 3) $b^6$ ; 4) $x^{12}$ ; 5) $4y^6$ ; 6) 5; 7) 4; 8) 1; 9) $\displaystyle-\frac{1}{2}$ ; 10) $2^{100}\gt10^{30}$ , так как $2^{100}=1024^{10}\gt1000^{10}=10^{30}$ .

Итоги темы

Степень $a^n$ — это произведение $n$ одинаковых множителей, равных $a$ . Степень отрицательного числа положительна при чётном показателе и отрицательна при нечётном. В выражениях возведение в степень выполняется раньше умножения и деления. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают, при делении — вычитают, при возведении степени в степень — перемножают; степень произведения и дроби равна произведению и частному степеней. Эти правила используются при преобразовании одночленов и многочленов, решении уравнений и в заданиях ОГЭ и ЕГЭ.