Решите неравенство 3^(2√x-10)+6561·12^(√x-4)<3^(2√x)+16·12^(√x-6)

Решите неравенство $\displaystyle 3^{2\sqrt{x}-10} + 6561 \cdot 12^{\sqrt{x}-4} < 3^{2\sqrt{x}} + 16 \cdot 12^{\sqrt{x}-6}$ .

Решение

Отметим сразу, что $x \geq 0$ .

Так как $6561=3^8$ , а $12=3 \cdot 4$ , то мы можем переписать неравенство в виде:

\displaystyle 3^{2\sqrt{x}-10} + 3^8 \cdot 3 \cdot 3^{\sqrt{x}-4} \cdot 4^{\sqrt{x}-4} < 3^{2\sqrt{x}} + 4^2 \cdot 3^{\sqrt{x}-6} \cdot 4^{\sqrt{x}-6}

Разделим левую и правую части неравенства на $\displaystyle 3^{{\sqrt{x}-10}}$ :

\displaystyle 3^{\sqrt{x}}+3^{14} \cdot 4^{\sqrt{x}-4} < 3^{\sqrt{x}+10}+3^4 \cdot 4^{\sqrt{x}-4}

Перенесем все в левую часть и сгруппируем:

\displaystyle \underline{3^{\sqrt{x}}}+\underline{\underline{3^{14} \cdot 4^{\sqrt{x}-4}}} - \underline{3^{\sqrt{x}+10}}-\underline{\underline{3^4 \cdot 4^{\sqrt{x}-4}}}<0

Теперь вынесем общий множитель за скобки в сгруппированных слагаемых:

\displaystyle 3^{\sqrt{x}}(1-3^{10})-3^4 \cdot 4^{\sqrt{x}-4}(1-3^{10})<0

Число в скобках $1-3^{10}$ будет отрицательным, поэтому при сокращении на эту скобку мы должны поменять знак неравенства:

\displaystyle 3^{\sqrt{x}}-3^4 \cdot 4^{\sqrt{x}-4}>0

Разделим выражение на $\displaystyle 3^{\sqrt{x}}$ , получим:

\displaystyle 1-3^{4-\sqrt{x}} \cdot 4^{\sqrt{x}-4}>0

Итак, мы будем иметь:

\displaystyle -\frac{4^{\sqrt{x}-4}}{3^{\sqrt{x}-4}}>-1

Умножим левую и правую части неравенства на -1. Не забудем поменять знак неравенства на противоположный:

\displaystyle \frac{4^{\sqrt{x}-4}}{3^{\sqrt{x}-4}}<1

Выразим отношение степеней, как степень отношения:

\displaystyle \left(\frac{4}{3}\right)^{\sqrt{x}-4}<1

Так как 1 — это любое число в нулевой степени, то пусть это будет $\displaystyle \left(\frac{4}{3}\right)^0=1$ .

Получаем простое иррациональное неравенство:

\displaystyle \sqrt{x}-4<0 \\ \sqrt{x}<4 \\ x<16

Однако, учитывая область определения, мы должны поставить ограничение слева, а именно $x \geq 0$ .

Таким образом, в ответе мы запишем $0 \leq x < 16$ .

Ответ: [0, 16).