Задача. Решите уравнение \sqrt{3x + 22} = 2 - x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:
3x + 22 = (2 - x)^2 \\ 3x + 22 = 4 - 4x + x^2Теперь перенесем все члены в одну сторону:
x^2 - 4x + 4 - 3x - 22 = 0 \\ x^2 - 7x - 18 = 0Давайте найдем корни этого уравнения по теореме Виета. Подберем числа, которые в сумме дают 7, а в произведении -18. Это числа 9 и -2, так как:
9 - 2 = 7 \\ 9 \cdot (-2) = -18Получаем два корня: x = 9 и x = -2.
Теперь, чтобы определить, какой из корней подходит, нужно проверить оба корня в исходном уравнении, учитывая область допустимых значений, которая определяется как 3x + 22 \geq 0 и 2 - x \geq 0.
Для x = -2, подставляем в исходное уравнение:
\sqrt{3(-2) + 22} = 2 - (-2) \\ \sqrt{-6 + 22} = 2 + 2 \\ \sqrt{16} = 4Это верно, так как \sqrt{16} = 4.
Для x = 9, подставляем в исходное уравнение:
\sqrt{3(9) + 22} = 2 - 9 \\ \sqrt{27 + 22} = -7 \\ \sqrt{49} = -7Это не верно, так как квадратный корень не может быть отрицательным числом.
Таким образом, единственный подходящий корень уравнения — это x = -2.
Ответ: -2
