Найдите точку максимума функции y = 1,5x^2 - 27x + 54ln x

Найдите точку максимума функции y = 1,5x^2 — 27x + 54ln x — 7

Задача. Найдите точку максимума функции $y = 1,5x^2 - 27x + 54 \ln x - 7$ .

Решение

Для нахождения точки максимума функции $y = 1,5x^2 - 27x + 54\ln(x) - 7$ сначала найдем ее первую производную. Производная показывает нам скорость изменения функции. Точки, в которых производная равна нулю, могут быть точками максимума или минимума функции.

Вычислим первую производную функции y :

\displaystyle y' = (1,5x^2 - 27x + 54\ln(x) - 7)' \\[5mm] y' = 2 \cdot 1,5x - 27 + \frac{54}{x} \\[5mm] y' = 3x - 27 + \frac{54}{x}

Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

\displaystyle 3x - 27 + \frac{54}{x} = 0

Далее, решим это уравнение относительно $x$ . Для этого умножим обе части уравнения на $x$ , чтобы избавиться от дроби:

3x^2 - 27x + 54 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его, например, с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

где $a = 3$ , $b = -27$ , и $c = 54$ . Подставим и найдем корни:

\displaystyle x = \frac{27 \pm \sqrt{(-27)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 54}}{2 \cdot 3} \\[5mm] x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 648}}{6} \\[5mm] x = \frac{27 \pm \sqrt{81}}{6} \\[5mm] x = \frac{27 \pm 9}{6}

Это дает нам два возможных решения:

\displaystyle x_1 = \frac{27 + 9}{6} = \frac{36}{6} = 6 \\[5mm] x_2 = \frac{27 - 9}{6} = \frac{18}{6} = 3

Теперь у нас есть две критические точки: $x = 3$ и $x = 6$ . Чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами, мы должны использовать вторую производную.

Вычислим вторую производную функции $y$ :