Решите уравнение 4√3 cos³x=cos(2x+π/2)

Задача. а) Решите уравнение $\displaystyle 4\sqrt{x} \cos^3{x}=\cos(2x+\frac{\pi}{2})$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle [-4\pi; -\frac{-5\pi}{2}]$

Решение

В правой части стоит выражение, которое мы можем упростить, используя правило приведения тригонометрических функций. Получаем:

\displaystyle 4\sqrt{3} \cos^3{x}=-\sin{2x}

, так как

\displaystyle \cos(2x+\frac{\pi}{2})=-\sin{2x}

Так как $\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$ , то уравнение примет вид:

4\sqrt{3}\cos^3{x}+2\sin{x}\cos{x}=0

Вынесем $\cos{x}$ за скобки:

\cos{x}(4\sqrt{3} \cos^2{x}+2\sin{x})=0

Произведение равно нулю если один из множителей равен нулю. Получаем два независимых уравнения:

$\cos{x}=0$ находим $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z$
$4\sqrt{3} \cos^2{x}+2\sin{x}=0$

Первое уравнение решили, решим второе:

\displaystyle 4\sqrt{3}(1-\sin^2{x})+2\sin{x}=0 \\[5mm] 4\sqrt{3}-4\sqrt{3}\sin^2{x} + 2\sin{x}=0 \\ t=\sin{x} \\ 4\sqrt{3}t^2-2t-4\sqrt{3}=0

Решаем квадратное уравнение:

D=b^2-4ac=4-4 \cdot 4\sqrt{3} \cdot (-4\sqrt{3})=4+3 \cdot 64=4+192=196

Находим корни:

\displaystyle t_1=\frac{2-14}{2 \cdot 4\sqrt{3}}=\frac{-12}{2 \cdot 4\sqrt{3}}=\frac{-3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}}{2}

второй корень $\displaystyle t_2=\frac{2+14}{2 \cdot 4\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}>1$ не подходит, так как синус угла не может быть больше единицы по модулю.

Переходим к первоначальной переменной:

\displaystyle \sin{x}= \frac{-\sqrt{3}}{2}

И, наконец, находим корни второго уравнения:

\displaystyle x_1=\frac{-\pi}{3}+2\pi k, k \in Z \\[5mm]  x_2=\frac{-2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in Z.

Ответ в пункте а) $\displaystyle \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z, \; \frac{-\pi}{3}+2\pi k, k \in Z; \; \frac{-2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in Z$ .

б) Решаем второй пункт задачи.

Отметим на тригонометрическом круге наш отрезок (показан розовым цветом). На экзамене можете показывать его «ёлочкой».

Точки на тригонометрическом круге - пункт б — Точки на тригонометрическом круге — пункт б

Отмечаем на круге точки — решения нашего уравнения, полученные в пункте а) и выписываем их.

\displaystyle \frac{-7\pi}{2} , \; -3\pi+\frac{\pi}{3}; \; -\frac{-5\pi}{2}

или

\displaystyle \frac{-7\pi}{2} , \; -\frac{8\pi}{3}; \; -\frac{-5\pi}{2}

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z, \; \frac{-\pi}{3}+2\pi k, k \in Z; \; \frac{-2 \pi}{3}+2 \pi m, m \in Z$ .

б) $\displaystyle \frac{-7\pi}{2} , \; -\frac{8\pi}{3}; \; -\frac{5\pi}{2}$ .