На рисунке изображены графики функций f(x) = a√x и g(x) = kx + b, которые пересекаются в точках А и B

Задача. На рисунке изображены графики функций f(x) = a\sqrt{x} и g(x) = kx + b, которые пересекаются в точках А и B. Найдите абсциссу точки А.

Решение

На рисунке отмечены точки.

Точка с координатами (-3; -2) принадлежит прямой, точка с координатами (0;0) принадлежит кривой, а точка B(4; 5) принадлежит обоим графикам. Координаты точки A не даны точно.

Поэтому будем использовать только три точки. Чтобы найти коэффициенты k и b в уравнении прямой g(x) = kx + b, составим систему уравнений, подставив в уравнение g(x) координаты точек (-3; -2) и B(4; 5). Получим:

\begin{cases} -2=-3k+b \\ 5=4k+b \end{cases}

Решая систему, получим: k=1, b=1.

Тогда уравнение прямой g(x)=x+1

Коэффициент a найдем, подставив в уравнение  f(x) = a\sqrt{x} координаты точки B:

5=a\sqrt{4} \\ 5=a \cdot 2 \\ a=2,5.

Уравнение кривой будет: f(x)=2,5\sqrt{x}.

Чтобы найти абсциссу точки пересечения этих графиков, приравняем их правые части:

x+1=2,5\sqrt{x} \\ x-2,5\sqrt{x}+1=0

Пусть \sqrt{x}=t, тогда получаем:

t^2-2,5t+1=0 \\ D=b^2-4ac=2,5^2-4=6,25-4=2,25=1,5^2.

Находим корни уравнения:

\displaystyle t_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{2,5-1,5}{2}=\frac{1}{2} \\ t_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2,5+1,5}{2}=\frac{4}{2}=2

Переходим к первоначальной переменной:

\displaystyle \sqrt{x_1}=t_1 \\ \sqrt{x_1}=\frac{1}{2} \\ x_1= \frac{1}{4}=0,25.

второй корень:

\sqrt{x_2}=t_2 \\ \sqrt{x_2}=2 \\ x_2= 4.

Второй корень — это абсцисса точки B. А первый — абсцисса точки А, которую и надо было найти.

Ответ: 0,25.