Угол ACB равен 33º. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 102º. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Задача. Угол ACB равен 33º. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 102º. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче Угол ACB равен 33º. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E — Рисунок к задаче

Решение

У нас есть следующая информация:

Угол $ACB$ равен $33^\circ$ .
Градусная мера дуги $AB$ , которая не содержит точек $D$ и $E$ , равна $102^\circ$ .

Из этих данных мы можем найти величину угла $BDA$ , который является вписанным углом и опирается на дугу $AB$ . Вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу. Таким образом, угол $BDA$ равен $102^\circ / 2 = 51^\circ$ .

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$ . Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$ , из этого следует:

\displaystyle \angle ACD + \angle CAD + \angle CDA = 180^\circ

Мы знаем, что $\angle ACD = 33^\circ$ и $\angle CDA = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ$ .

Теперь мы можем найти угол $CAD$ :

\displaystyle \angle CAD = 180^\circ - \angle ACD - \angle CDA \\ \angle CAD = 180^\circ - 33^\circ - 129^\circ \\ \angle CAD = 18^\circ

Поскольку точка $E$ лежит на отрезке $CA$ , фактически угол $CAD$ равен углу $DAE$ . Поэтому угол $DAE$ также равен $18^\circ$ .

Ответ: $18^\circ$ .

Простое решение. Можно решить задачу проще, считая что угол $BDA$ является внешним углом треугольника $ADC$ . Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним:

\angle BDA = \angle ACD + \angle DAE

И сразу находим:

\angle DAE = \angle BDA - \angle ACD \\ \angle DAE = 51^\circ - 33^\circ=18^\circ

В решении этой геометрической задачи использовались следующие теоретические положения:

1. Сумма углов в треугольнике:

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$ . Это свойство позволяет найти неизвестный угол в треугольнике, если известны два других.

2. Угол, опирающийся на дугу:

Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Если центральный угол неизвестен, но известна градусная мера дуги, то вписанный угол будет равен половине этой меры.

3. Внешний угол треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме двух противоположных внутренних углов треугольника. Это свойство в задаче использовалось для угла $DAE$ , который является внешним углом по отношению к внутреннему углу $CAD$ треугольника $ACD$ .

Используя эти теоретические основы, можно решить большинство задач, связанных с углами в треугольниках и углами, вписанными в окружность.