Решите уравнение: а) 3sin2x-4cosx+3sinx-2=0 б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [π/2 ; 3π/2 ]

Задача. Решите уравнение: а) 3sin2x-4cosx+3sinx-2=0.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [π/2 ; 3π/2 ].

Решение

Применим формулу: sin2α = 2sinαcosα

3∙2sinxcosx – 4cosx + 3sinx – 2 = 0;

(6sinxcosx – 4cosx) + (3sinx – 2) = 0;

2cosx(3sinx – 2) + (3sinx – 2) = 2;

(3sinx – 2)(2cosx + 1) = 0 ⇒ 3sinx – 2 = 0  или  2cosx + 1 = 0.

1) 3sinx – 2 = 0;                                2) 2cosx + 1 = 0;

Используем формулы:

sint = a ⇒ t = (-1)ⁿ ∙arcsin a + πn, n ∈ Z  и cost = -a ⇒ t = ± (π – arccos a) + 2πk, k ∈ Z. Тогда:

Задание а) выполнено. Приступим к выполнению задания б). Будем подбирать такие целые значения n и k, чтобы значение х принадлежало указанному в задании б) промежутку.