Задача. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC.
Решение
Обозначим P как точку, где BE и AD пересекаются, как показано на рисунке. В треугольнике ABD , BP , являясь биссектрисой, также служит высотой, делая треугольник равнобедренным. Это приводит к тому, что AP и PD равны, и их длина составляет 48, а BC вдвое длиннее BD , что также в два раза превышает длину AB .
Используя свойство биссектрисы в треугольнике, получаем
\displaystyle \frac{CE}{AE} = \frac{BC}{AB} = \frac{CE}{AE} \Rightarrow 2AC = 3AE.Если через вершину B провести линию параллельно стороне AC , и обозначить K как точку пересечения этой линии с продолжением медианы AD , то получим, что BK равно AC , и равно 3AE , так как треугольники BDK и ABC совпадают по одной стороне и двум смежным углам.
От подобия треугольников APE и KPB вытекает, что отношение PE к AE эквивалентно отношению AE к BK , и составляет одну третью. Из этого следует, что PE равно 24, а PB равно 72. Соответственно, мы находим, что
\displaystyle AB = \sqrt{AP^2 + BP^2} = 24\sqrt{13}; \\ BC = 2 \cdot AB = 48\sqrt{13}; \\ AE = \sqrt{AP^2 + EP^2} = 24\sqrt{5}; \\ AC = 3 \cdot AE = 72\sqrt{5}.Стороны треугольника ABC составляют 24\sqrt{13} , 48\sqrt{13} , 72\sqrt{5} .
Ответ: 24\sqrt{13} , 48\sqrt{13} , 72\sqrt{5}
