Решите уравнение cos(pi(2x-6)/6)=√3/2

Содержание

Решение
Решаем уравнение
Находим наибольший отрицательный корень

Задача. Решите уравнение $\displaystyle \cos{\frac{\pi(2x - 6)}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение

Решаем уравнение

Косинус равен $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ тогда, когда аргумент равен $\displaystyle \pm \frac{\pi}{6}$ (или 30 градусов). То есть сам угол может быть как в первой, так и в четвертой четверти координатной плоскости. Следовательно, общее решение уравнения для косинуса будет:

\displaystyle \frac{\pi(2x - 6)}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi или \frac{\pi(2x - 6)}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi

где $k$ — любое целое число.

Решим оба уравнения по отдельности для $x$ :

Для первого уравнения:

\pi(2x - 6) = \pi + 12k\pi \\ 2x - 6 = 1 + 12k \\ 2x = 7 + 12k \\ x = \frac{7}{2} + 6k

Для второго уравнения:

\displaystyle \pi(2x - 6) = -\pi + 12k\pi \\ 2x - 6 = -1 + 12k \\ 2x = 5 + 12k \\ x = \frac{5}{2} + 6k

Теперь нам нужно найти наибольший отрицательный корень из всех возможных значений $x$ , которые удовлетворяют обоим уравнениям. Для этого подставим различные отрицательные целые значения для $k$ в каждое выражение, чтобы увидеть, какое из них даст наибольший отрицательный корень.

Находим наибольший отрицательный корень

Для нахождения наибольшего отрицательного корня нужно рассмотреть значения $k$ , начиная с 0 и идя в отрицательном направлении (то есть $k = 0, -1, -2, \ldots$ ) и подставить в формулы для $x$ .

Для первого уравнения ( $\displaystyle x = \frac{7}{2} + 6k$ ):

При k = 0: $\displaystyle x = \frac{7}{2}$ (не является отрицательным, поэтому продолжаем)
При k = -1: $\displaystyle x = \frac{7}{2} + 6(-1) = \frac{7}{2} - \frac{12}{2} = -\frac{5}{2}$ (это отрицательное значение, но нужно проверить, не будет ли следующее значение k больше)
При k = -2: $\displaystyle x = \frac{7}{2} + 6(-2) = \frac{7}{2} - \frac{24}{2} = -\frac{17}{2}$ (это значение еще меньше)

Процесс будет продолжаться, и каждое последующее значение $x$ будет уменьшаться. А нам нужно взять наибольшее отрицательное число. В данном случае это -2,5.

Для второго уравнения ( $\displaystyle x = \frac{5}{2} + 6k$ ):

При k = 0: $\displaystyle x = \frac{5}{2}$ (не отрицательное)
При k = -1: $\displaystyle x = \frac{5}{2} + 6(-1) = \frac{5}{2} - \frac{12}{2} = -\frac{7}{2}$ (это отрицательное значение)
При k = -2: $\displaystyle x = \frac{5}{2} + 6(-2) = \frac{5}{2} - \frac{24}{2} = -\frac{19}{2}$ (и это значение еще меньше)

Следовательно, наибольший отрицательный корень для обоих уравнений будет при $k = -1$ , то есть для первого уравнения $\displaystyle x = -\frac{5}{2}$ , а для второго $\displaystyle x = -\frac{7}{2}$ . Из этих двух значений $\displaystyle -\frac{5}{2}$ больше, чем $\displaystyle -\frac{7}{2}$ , следовательно, наибольший отрицательный корень равен $\displaystyle -\frac{5}{2}$ или -2,5.

Ответ: -2,5.