Найдите наименьшее значение функции y=x√x-9x+23 на отрезке [1; 36]

Задача. Найдите наименьшее значение функции y=x\sqrt{x}-9x+23 на отрезке [1; 36]

Решение

Чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке, нам нужно выполнить несколько шагов:

Вычисление производной функции

Производная функции показывает, как функция изменяется на разных интервалах. Если функция возрастает или убывает, производная будет положительной или отрицательной соответственно. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками и могут указывать на локальные максимумы или минимумы функции.

Нахождение критических точек

Критические точки находятся путем решения уравнения, полученного приравниванием производной к нулю. Это уравнение может иметь несколько решений или не иметь их вообще.

Проверка значений функции в критических точках и на концах отрезка

Даже если мы находим критические точки внутри отрезка, наименьшее или наибольшее значение функции может достигаться на концах отрезка. Поэтому мы также вычисляем значение функции в точках x = 1 и x = 36, которые являются концами отрезка [1; 36].

Сравнение значений и выбор наименьшего

Сравниваем значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, чтобы определить, какое из них является наименьшим.

В нашем случае, после вычисления производной функции y = x\sqrt{x} - 9x + 23, мы нашли, что производная функции равна \displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{x} - 9. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

Решение этого уравнения дает нам x = 36 как единственную критическую точку в пределах отрезка [1; 36].

Затем мы вычисляем значение функции в этой критической точке и на концах отрезка:

Сравнивая значения, мы видим, что наименьшее значение функции равно -85 , и оно достигается при x = 36.

Таким образом, наименьшее значение функции y = x\sqrt{x} - 9x + 23 на отрезке [1; 36] равно -85.

Ответ: -85.