Задача. Решите уравнение \displaystyle \cos \frac{\pi(8x+8)}{3}= \frac{1}{2}. В ответе запишите наименьший положительный корень.
Решение
Решение тригонометрического уравнения
У нас есть уравнение \displaystyle \cos \frac{\pi(8x+8)}{3} = \frac{1}{2}.
Косинус угла равен \displaystyle \frac{1}{2} на углах \displaystyle \frac{\pi}{3} и \displaystyle -\frac{\pi}{3} поскольку косинус является четной функцией. Исходя из этого, решением уравнения будет:
\displaystyle \frac{\pi(8x+8)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k или \displaystyle \frac{\pi(8x+8)}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi kгде k — любое целое число.
Для первого уравнения:
\displaystyle 8x + 8 = 1 + 6k \\ 8x = -7 + 6k \\ x = \frac{-7 + 6k}{8}Для второго уравнения:
\displaystyle 8x + 8 = -1 + 6k \\ 8x = -9 + 6k \\ x = \frac{-9 + 6k}{8}Поиск наименьшего положительного корня
Нам нужно найти наименьшее положительное значение x. Это означает, что мы должны найти такое значение k, при котором x будет положительным и наименьшим возможным.
Если мы рассмотрим первое уравнение, \displaystyle x = \frac{-7 + 6k}{8}, и подставим k = 1, получим:
\displaystyle x = \frac{-7 + 6 \cdot 1}{8} = \frac{-1}{8} что является отрицательным значением, так что мы отвергаем его.
Если подставим k = 2, получим:
\displaystyle x = \frac{-7 + 6 \cdot 2}{8} = \frac{5}{8} что является положительным значением, и мы сохраняем его как возможный корень.
Аналогично, для второго уравнения, \displaystyle x = \frac{-9 + 6k}{8}, и подставим k = 1, получим:
\displaystyle x = \frac{-9 + 6 \cdot 1}{8} = \frac{-3}{8} что снова является отрицательным значением.
Если подставим k = 2, получим:
\displaystyle x = \frac{-9 + 6 \cdot 2}{8} = \frac{3}{8} Это положительное значение, и оно меньше, чем \displaystyle \frac{5}{8}, найденное ранее, так что это наименьший положительный корень.
Таким образом, наименьший положительный корень уравнения равен \displaystyle \frac{3}{8}или 0,375.
Ответ: 0,375
