Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 4 орла» больше вероятности события «выпадет ровно 3 орла»?

Задача. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 4 орла» больше вероятности события «выпадет ровно 3 орла»?

Решение

Для решения задачи используем биномиальное распределение вероятностей. Вероятность выпадения орла (или решки, так как монета симметрична) в каждом отдельном броске равна 1/2. Вероятность того, что в серии из 10 бросков выпадет ровно k орлов, определяется как:

\displaystyle P(k \text{ орлов}) = C_{10}^k \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(\frac{1}{2}\right)^{10-k} = C_{10}^k \left(\frac{1}{2}\right)^{10}

где \displaystyle C_{10}^k — это число сочетаний из 10 по k, которое рассчитывается по формуле:

\displaystyle C_{10}^k = \frac{10!}{k!(10-k)!}

Для k = 4:

\displaystyle P(4 \text{ орла}) = C_{10}^4 \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{10!}{4!6!} \left(\frac{1}{2}\right)^{10}

Для k = 3:

\displaystyle P(3 \text{ орла}) = C_{10}^3 \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{10!}{3!7!} \left(\frac{1}{2}\right)^{10}

Теперь найдём, во сколько раз P(4 орла) больше P(3 орла):

\displaystyle \frac{P(4 \text{ орла})}{P(3 \text{ орла})} = \frac{C_{10}^4}{C_{10}^3} = \frac{10! / (4!6!)}{10! / (3!7!)}= \\[5mm] = \frac{7!}{4!} \cdot \frac{3!}{6!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{6 \cdot 5 \cdot 4}= \frac{7}{4}

Таким образом, вероятность события «выпадет ровно 4 орла» в 7/4, или в 1,75 раза больше вероятности события «выпадет ровно 3 орла».

Ответ: 1,75

Подробное объяснение

Когда мы бросаем монету, у нас есть два возможных исхода: орёл или решка. Поскольку монета симметричная, вероятность каждого исхода равна 1/2 (или 0,5).

В нашем случае монету бросают 10 раз. Мы хотим сравнить две вероятности: когда выпадает ровно 4 орла и когда выпадает ровно 3 орла.

Биномиальное распределение

В биномиальном распределении мы имеем дело с серией независимых экспериментов (в нашем случае, бросков монеты), где каждый эксперимент имеет два возможных исхода (орёл или решка). Вероятность одного исхода всегда одинакова (в нашем случае 1/2).

Биномиальное распределение применяется, когда у нас есть серия испытаний, в каждом из которых есть только два возможных исхода (успех или неудача) и вероятность успеха в каждом испытании постоянна.

Формулы биномиального распределения

Формула для нахождения вероятности того, что событие произойдёт ровно k раз в серии из n независимых экспериментов, выглядит так:

\displaystyle P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

где:

• P(k) — вероятность того, что интересующее нас событие произойдёт ровно k раз;
• C_n^k — число сочетаний, оно же биномиальный коэффициент, которое показывает, сколькими способами можно выбрать k успехов из n попыток;
• p — вероятность успеха в одном эксперименте (для монеты \displaystyle p = \frac{1}{2} );
• (1-p) — вероятность неудачи (для монеты тоже \displaystyle \frac{1}{2});
• n — общее количество экспериментов (в нашем случае 10 бросков монеты).

Вычисление биномиального коэффициента

Число сочетаний C_n^k находится по формуле:

\displaystyle C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

где n! — это факториал числа n, который равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n.

Решение нашей задачи

Теперь давайте найдём вероятность для 4 орлов:

\displaystyle P(4) = C_{10}^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10-4}

и вероятность для 3 орлов:

\displaystyle P(3) = C_{10}^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10-3}

Сравнение вероятностей

Нам нужно выяснить, во сколько раз P(4) больше P(3), для этого мы делим P(4) на P(3):

\displaystyle \frac{P(4)}{P(3)} = \frac{C_{10}^4}{C_{10}^3}

После подстановки значений и упрощения, мы получим:

\displaystyle \frac{P(4)}{P(3)} = \frac{7}{4}

Это означает, что вероятность выпадения «ровно 4 орлов» в 1,75 раза больше вероятности выпадения «ровно 3 орлов».

Ответ: 1,75.