В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка D – середина ребра СС1

Задача. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка D – середина ребра СС₁.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей АВС и ADB₁.

б) Найдите угол между плоскостями АВС и ADB₁.

Решение

Боковая грань СС₁В₁В пересекается с плоскостью основаниями по прямой ВС а с плоскостью АDВ₁ по прямой В₁D, и точка К лежит на этой прямой:

Кϵ (АDВ₁), Кϵ (АВС), Кϵ(СС₁В₁В).

Таким образом плоскости АВС и АDВ₁ имеют 2 общие точки А и К, следовательно, пересекаются по прямой АК.

Обозначим СК через х. Получаем равенство:

∆АСК – равнобедренный.

Получается, что ∆ВАК – прямоугольный (∠ВАК=90⁰)

Итак, АК⊥АВ, значит, по ТТП АВ₁⊥АК, и угол В₁АВ – линейный угол двугранного угла с общим ребром АК, т.е. угол между  плоскостями АВС и ADB_1.