Решите уравнение log2 (x + 5) = log4 (1-х). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Задача. Решите уравнение $\displaystyle \log_2(x + 5) = \log_4(1 - x)$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение

Давайте рассмотрим уравнение:

\displaystyle \log_2(x + 5) = \log_4(1 - x)

Уравнение содержит логарифмы с разными основаниями, 2 и 4. Однако основание 4 можно представить как степень основания 2, поскольку $4 = 2^2$ . Используя свойства логарифмов, мы можем преобразовать правую часть уравнения, чтобы основания логарифмов совпали.

Для начала вспомним основные свойства логарифмов:

1. Основное логарифмическое тождество:

\log_a(a) = 1

2. Свойство логарифма степени:

\displaystyle \log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)

3. Свойство логарифма произведения:

\displaystyle \log_a(b \cdot c) = \log_a(b) + \log_a(c)

Используя эти свойства, преобразуем уравнение:

1. Приведем логарифмы к одинаковому основанию:

\displaystyle \log_2(x + 5) = \log_{2^2}(1 - x)

2. Применим свойство логарифма степени, чтобы вынести степень из основания логарифма справа:

\displaystyle \log_2(x + 5) = \frac{1}{2} \cdot \log_2(1 - x)

Теперь у нас есть уравнение с логарифмами одинакового основания. Мы можем избавиться от логарифмов, приравняв их аргументы:

\displaystyle x + 5 = \left(1 - x\right)^{\frac{1}{2}}

Теперь у нас есть степенное уравнение. Возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от дробной степени:

(x + 5)^2 = 1 - x

Раскрываем скобки:

x^2 + 10x + 25 = 1 - x

Переносим все слагаемые в одну сторону:

x^2 + 10x + x + 25 - 1 = 0 \\ x^2 + 11x + 24 = 0

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, находим два корня:

x_1=-3 \\ x=-8

Теперь у нас есть два возможных решения.

Мы должны проверить, подходят ли оба корня, подставив их в исходное уравнение. Помним, что аргумент логарифма должен быть положительным, то есть $x + 5 > 0$ и $1 - x > 0$ .

Для x $= -3$ :