Задача. Решите уравнение \log_{5}(2x + 3) = \log_{0,2}(x +1). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение
0,2 это \displaystyle \frac{1}{5}. Используем это для упрощения исходного уравнения.Дано уравнение:
\displaystyle \log_{5}(2x + 3) = \log_{0,2}(x + 1)Заменим 0,2 на \displaystyle \frac{1}{5}, тогда уравнение принимает вид:
\displaystyle \log_{5}(2x + 3) = \log_{\frac{1}{5}}(x + 1)Мы можем использовать свойство логарифмов \displaystyle \log_{a}(b) = -\log_{\frac{1}{a}}(b) , таким образом:
\displaystyle \log_{5}(2x + 3) = -\log_{5}(x + 1)Поскольку основания логарифмов равны, аргументы должны быть взаимно обратными, если учитывать знак «минус»:
\displaystyle 2x + 3 = \frac{1}{x + 1}Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на x + 1, чтобы избавиться от дроби:
(2x + 3)(x + 1) = 1 \\ 2x^2 + 2x + 3x + 3 = 1 \\ 2x^2 + 5x + 3 - 1 = 0 \\ 2x^2 + 5x + 2 = 0Чтобы решить квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, нам сначала нужно вычислить дискриминант D по формуле:
D = b^2 - 4acДля уравнения 2x^2 + 5x + 2 = 0, коэффициенты a = 2 , b = 5 и c = 2. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 \\ D = 25 - 16 \\ D = 9Так как D > 0, уравнение имеет два различных вещественных корня, которые можно найти с помощью формул корней квадратного уравнения:
\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}Подставим значения:
\displaystyle x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} \\[5mm] x_{1,2} = \frac{-5 \pm 3}{4}Теперь найдем оба корня:
\displaystyle x_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \\[5mm] x_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2Таким образом, корни квадратного уравнения 2x^2 + 5x + 2 = 0 равны \displaystyle x_1 = -\frac{1}{2} и x_2 = -2.
Однако x = -2 не подходит, так как при этом значении аргумент логарифма станет отрицательным (что недопустимо), поэтому единственным решением уравнения является \displaystyle x = -\frac{1}{2}.
Ответ: -0,5.
