На рисунке изображены графики функций f(x)=k/x и g(x)=ax+b, которые пересекаются в точках A и B

Задача. На рисунке изображены графики функций \displaystyle f(x) = \frac{k}{x}и g(x) = ax + b, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Решение

Для решения задачи нам необходимо найти уравнения обеих функций. Обозначим безымянную точку на графике — через C.

Найдём уравнение прямой g(x) = ax + b, проходящей через точки А и С.

Точка А имеет координаты (-1, 3), а точка С — (4, 1).

Угловой коэффициент a прямой g(x) равен изменению y, делённому на изменение x:

\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\[5mm] a = \frac{1 - 3}{4 - (-1)} \\[5mm] a = \frac{-2}{5}

Теперь, когда у нас есть a, мы можем найти b, подставив координаты одной из точек в уравнение прямой.

Используем точку А (-1, 3) для этого:

\displaystyle 3 = \frac{-2}{5} \cdot (-1) + b \\[5mm] 3 = \frac{2}{5} + b \\[5mm]  b = 3 - \frac{2}{5} \\[5mm]  b = \frac{15}{5} - \frac{2}{5} \\[5mm] b = \frac{13}{5}

Таким образом, уравнение прямой: \displaystyle g(x) = \frac{-2}{5}x + \frac{13}{5}.

Теперь найдём уравнение гиперболы \displaystyle f(x) = \frac{k}{x}, используя точку А.

Точка А (-1, 3) лежит на гиперболе, следовательно:

\displaystyle 3 = \frac{k}{-1} \\[5mm] k = -3

Таким образом, уравнение гиперболы: \displaystyle f(x) = \frac{-3}{x}.

Теперь, имея уравнения обеих функций, мы можем найти абсциссу точки В, где они пересекаются. Точка В — это не точка А, следовательно она должна иметь другую абсциссу. Так как точка В лежит на обоих графиках, мы можем приравнять функции друг к другу:

\displaystyle \frac{-2}{5}x + \frac{13}{5} = \frac{-3}{x}

Умножим обе стороны уравнения на 5x, чтобы избавиться от дробей:

-2x^2 + 13x = -15

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

2x^2 - 13x - 15 = 0

Решим это квадратное уравнение. Для этого найдём дискриминант D:

\displaystyle D = b^2 - 4ac \\ D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) \\ D = 169 + 120 \\ D = 289

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Получаем:

\displaystyle x_1 = \frac{13 - \sqrt{289}}{4} = \frac{13 - 17}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \\[5mm] x_2 = \frac{13 + \sqrt{289}}{4} = \frac{13 + 17}{4} = \frac{30}{4} = 7,5

Точка x_1 = -1 соответствует точке А, следовательно, нас интересует x_2 = 7,5.

Таким образом, абсцисса точки В равна 7,5.

Ответ: 7,5