Задача. Решите уравнение \displaystyle tg \frac{π(2x+5)}{6} = \sqrt{3}. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Решение
Тангенс угла равный √3 соответствует углам π/3 + πk, где k — любое целое число, поскольку тангенс периодичен с периодом π.
Исходное уравнение имеет вид:
\displaystyle tg \frac{\pi(2x+5)}{6} = \sqrt{3}Это уравнение будет верным для:
\displaystyle \frac{\pi(2x+5)}{6} = \frac{\pi}{3} + \pi kДля решения относительно x умножим обе части на 6 и разделим на π:
2x+5 = 2 + 6kТеперь выразим x:
\displaystyle 2x = -3 + 6k \\ x = \frac{-3}{2} + 3k=-1,5+3kНам нужен наибольший отрицательный корень, то есть значение x должно быть отрицательным, но как можно ближе к нулю. При k = 0, x = -1,5, что является отрицательным числом. При k = 1, x уже будет положительным (x = 1,5). Следовательно, наибольший отрицательный корень получается при k = 0.
Наибольший отрицательный корень уравнения равен -1,5.
Ответ: -1,5.