Задача. 31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7378000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Савелий переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Решение. Если кредит на S рублей полностью погашается за n ежегодных выплат, равных 1, 2, 3, … , n, осуществленных после начисления r% по вкладу, то применяем формулу:
Если бы Савелий погасил кредит S = 7007000 за 2 равных платежа по Х рублей каждый, после начисления r = 12,5% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга, то получается равенство:
Умножим обе части равенства на 1,1252.
7378000 ∙ 1,1252 = 1,125Х + Х;
7378000 ∙ 1,265625 = 2,125Х. Разделим обе части равенства на 2,125.
3472000 ∙ 1,265625 = Х.
Х = 4394250 рублей.
Таким образом, если бы Савелий погасил кредит за два года равными платежами по 4394250 рублей, то заплатил бы 4394250 ∙ 2 = 8788500 рублей.
Савелий погасил кредит S = 7378000 за 3 равных платежа по У рублей каждый, после начисления r = 12,5% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга, поэтому У найдем из равенства:
Умножим обе части равенства на 1,1253.
7378000 ∙ 1,1253 = 1,1252 ∙ У + 1,125У + У;
7378000 ∙ 1,423828125 = 1,265625У + 1,125У + У;
7378000 ∙ 1,423828125 = 3,390625У. Разделим обе части равенства на 3,390625.
2176000 ∙ 1,423828125 = У → У = 3098250 рублей.
Савелий погасил кредит за 3 равных платежа по 3098250 рублей
и заплатил 3098250 ∙ 3 = 9294750 рублей.
Разница составляет 9294750 — 8788500 = 506250 рублей.
Ответ: 506250.
