В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 2.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A, C и D1.
б) Найдите площадь сечения, проходящего через точки А, С и D1.
Решение.
Проводим АС и CD1. Секущая плоскость пересечет параллельные грани по параллельным прямым, поэтому проведем D1F1 || AC, и осталось провести AF1. Четырехугольник ACD1F1 – параллелограмм, так как стороны его попарно параллельны. Основание призмы – правильный шестиугольник, внутренние углы которого равны 120°.
Таким образом, в равнобедренном треугольнике АВС углы равны 120°, 30° и 30°.
Получается, что малая диагональ правильного шестиугольника образует с его стороной прямой угол, т.е. ∠CAF=90°. Прямая АС, проведенная через основание наклонной AF1, перпендикулярно ее проекции AF, будет перпендикулярна и самой наклонной AF1 – теорема о трех перпендикулярах (ТТП).
Получается, что параллелограмм ACD1F1 является прямоугольником. Площадь этого прямоугольника равна произведению его длины на ширину. S□ = AC ∙ AF1.
Из ∆АВС по теореме косинусов находим:
