Задача. Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причем точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.
Решение
Для начала проведём радиусы MS и MT для одной окружности и NS и NT для другой, отметив, что MS равен MT, а NS равен NT, поскольку они являются радиусами соответствующих окружностей. Затем обратим внимание на треугольники MNS и MNT. В этих треугольниках стороны MS и MT равны, как и стороны NS и NT, а сторона MN является общей для обоих треугольников. Это означает, что треугольники MNS и MNT равны по трем сторонам.
Исходя из конгруэнтности, углы SMN и TMN также равны. Это равенство углов указывает на то, что линия MN служит биссектрисой угла SMT в равнобедренном треугольнике MST. В равнобедренном треугольнике биссектриса, опущенная на основание, также является высотой. Следовательно, прямая ST перпендикулярна прямой MN. Что и требовалось доказать.
